Voir la source de Théorème de Faltings

[[Fichier:Gerd Faltings MFO.jpg|vignette|[[Gerd Faltings]].]]
En [[théorie des nombres]], le '''théorème de Faltings''', précédemment connu sous le nom de '''conjecture de Mordell''' donne des résultats sur le nombre de solutions d'une [[équation diophantienne]]. Il a été [[Conjecture|conjecturé]] par le mathématicien anglais [[Louis Mordell]] en 1922 et démontré par [[Gerd Faltings]] en 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée.

== Énoncé ==

Soit l'équation définie de la manière suivante :

::<math>P(x,y) = 0\,</math>

avec ''P'' un [[polynôme]] à [[coefficient]]s [[Nombre rationnel|rationnels]]. Le problème est de trouver le nombre ''X'' de solutions de cette équation dans l'ensemble des rationnels.

Le nombre de solutions dépend du [[Genre (mathématiques)#Courbes algébriques|genre]] de la [[courbe]] ''C'' associée à cette équation (on peut définir empiriquement le genre d'une courbe comme le nombre de fois où il est possible de couper cette courbe sans obtenir deux morceaux distincts) :
* si le genre vaut 0 (cas des courbes [[unicursale]]s, par exemple une droite), alors :
** soit ''X'' = 0,
** soit ''X'' = ∞ ;
* si le genre vaut 1, alors :
** soit ''X'' = 0,
** soit C est une [[courbe elliptique]]. En 1920, Mordell a démontré  que l'ensemble des [[Point rationnel|points rationnels]] forme un [[groupe abélien de type fini]] ;
* si le genre est supérieur ou égal à 2, Mordell avait conjecturé qu'il n'y avait qu'un nombre fini de points. Ceci fut effectivement démontré par Gerd Faltings en 1983.

== Application ==
Soit l'équation de [[Pierre de Fermat|Fermat]] :
::<math>x^n+y^n=z^n</math>
dont on cherche les solutions entières. Si <math>(a,b,c)</math> est une solution avec <math>c</math> non nul, alors <math>(a/c, b/c)</math> est une solution à coordonnées rationnelles de l'équation 
::<math>u^n+v^n=1.</math>
Elle correspond à une courbe de genre <math>\frac{(n-1)(n-2)}{2}</math>. Ainsi, pour <math>n</math> supérieur ou égal à 4, elle est de genre supérieur ou égal à 2, et n'admet donc qu'un nombre fini de solutions rationnelles. On sait borner le nombre de solutions, mais pas encore leur taille. Cette approche pour démontrer le [[dernier théorème de Fermat]], alternative à celle suivie par [[Andrew Wiles]], n'a donc pas encore abouti ; au demeurant, elle ne permettrait (en théorie) qu'une démonstration [[constructivisme (mathématiques)|constructive]] pour chaque valeur de ''n'' donnée, mais non en général.

== Démonstrations ==

Faltings a publié sa démonstration en 1983<ref>{{harvsp|Faltings|1983}}.</ref>, avec un erratum en 1984<ref>{{harvsp|Faltings|1984|p=}}.</ref>. Un exposé de la démonstration est donné par [[Pierre Deligne]] au [[séminaire Bourbaki]] en 1984<ref>{{harvsp|Deligne|1985|}}.</ref>. Faltings obtient la [[médaille Fields]] en 1986.

Dans son travail, Faltings démontre aussi la  {{Lien|trad=Tate conjecture|fr=conjecture de Tate}} de [[John T. Tate]] et la conjecture d'[[Igor Chafarevitch]], en appliquant un mécanisme de traduction de [[corps de fonctions]] en [[corps de nombres]] introduit par [[Souren Arakelov]]. Le fait que la conjecture de Mordell est une conséquence de la conjecture de Chafarevitch a été démontré par [[Alexeï Parchine]] en 1968 (communication au [[congrès international des mathématiciens]] de Nice en 1970<ref name="P"/>).

Après Faltings, le théorème a été démontré d'une autre manière par [[Paul Vojta]]<ref>{{harvsp|Vojta|1991}}.</ref>. La preuve de  Vojta a été simplifiée par Faltings<ref>{{harvsp|Faltings|1991|p=}}.</ref> lui-même et par [[Enrico Bombieri]]<ref>{{harvsp|Bombieri|1990|p=}}</ref>. Des présentations sont données dans le livre de [[Enrico Bombieri|Bombieri]] et [[Walter Gubler|Gubler]]<ref>{{harvsp|Bombieri|Gubler|2006}}.</ref>, et dans celui de Serge Lang<ref>{{harvsp|Lang|1997}}.</ref>.

Pour les corps de fonctions, la conjecture avait déjà été démontrée en 1963 par [[Yuri Manin]]<ref>{{harvsp|Manin|1963|p=}}.</ref>, avec une lacune de la preuve repérée et comblée par [[Robert F. Coleman]]<ref>{{harvsp|Coleman|1990|p=}}.</ref>, en 1965 par [[Hans Grauert]] en 1965<ref>{{harvsp|Grauert|1965|p=}}.</ref> et en 1968 par [[Alexeï Parchine]]<ref name="P">{{harvsp|Parshin|1968|p=}}.</ref>.

Une nouvelle démonstration est donnée par Brian Lawrence et [[Akshay Venkatesh]] en 2018. La preuve suit la démarche de Faltings, mais utilise l'analyse de la variation de [[Représentation galoisienne|représentations galoisiennes]] p-adiques<ref>{{harvsp|Lawrence|Venkatesh|2018}}.</ref>.

== Généralisations ==
Par le [[théorème de Mordell-Weil]], le théorème de Faltings peut être reformulé comme un énoncé sur l'intersection d'une courbe  ''C'' avec un sous-groupe de type fini Γ d'une [[variété abélienne]] ''A''. Une généralisation consiste à remplacer ''C'' par une sous-variété arbitraire de ''A'' et Γ par un sous-groupe arbitraire de ''A'' de rang fini ; ceci conduit à la {{Lien|trad=Mordell–Lang conjecture|fr=conjecture de Mordell-Lang}} qui a été démontrée par Faltings en 1991<ref>{{harvsp|Faltings|1991}}.</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Faltings|1994}}.</ref>.

Une autre généralisation en dimension supérieure est la {{Lien|trad=Bombieri–Lang conjecture|fr=conjecture de Bombieri-Lang}} selon laquelle, si ''X'' est une variété « pseudo-canonique » (c'est-à-dire une variété générale) sur un corps de nombres ''k'', alors ''X''(''k'') n'est pas [[Partie dense|dense]] dans ''X'' au sens de la [[topologie de Zariski]]. Des conjectures encore plus générales ont été énoncées par [[Paul Vojta]].

== Notes et références ==
{{Références}}
== Bibliographie ==

=== Livres et exposés ===

* {{Ouvrage
|auteur1= [[Enrico Bombieri]] |auteur2 = [[Walter Gubler]]
|titre= Heights in Diophantine Geometry
|éditeur= Cambridge University Press
|collection=  New Mathematical Monographs
|année= 2006
|numéro dans collection = 4
|pages totales= xvi+652
|isbn= 9780511542879
|doi = 10.1017/CBO9780511542879
|zbl= 1115.11034
|consulté le=24 août 2019
}}.
*{{article |auteur1= Pierre Deligne
 | titre = Preuve des conjectures de Tate et de Shafarevitch 
 | zbl = 0591.14026
 | périodique = Séminaire Bourbaki, 36e année, 1983/84, Exposé 616, novembre 1983 ; Astérisque |tome = 121-122 |pages = 25-41  |année = 1985
 | url = http://www.numdam.org/article/SB_1983-1984__26__25_0.pdf}}
* {{Ouvrage |auteur1=Gerd Faltings |auteur2=Gisbert Wüstholz |responsabilité2=éditeurs |titre=Rational points |sous-titre=Papers from the seminar held at the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn, 1983/1984. |lieu=Braunschweig-Wiesbaden |éditeur=Friedr. Vieweg & Sohn |collection=Aspects of Mathematics |numéro dans collection=E6 |année=1984 |pages totales=vi+268 |isbn=3-528-08593-2 |math reviews=766568 |zbl=0588.14027}}.
*{{ouvrage  | auteur1=Marc  Hindry |auteur2=Joseph H. Silverman
 | titre=Diophantine geometry 
 | series= [[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=201 | éditeur=Springer-Verlag | année=2000 
 | isbn=0-387-98981-1 | mr=1745599 | doi=10.1007/978-1-4612-1210-2 | lieu=New York}} — Contient la preuve par Vojta  du théorème de Faltings.
*{{ouvrage  | auteur1=Serge Lang 
 | titre=Survey of Diophantine geometry | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | année=1997 | isbn=3-540-61223-8 | passage =101–122 }}

=== Articles ===
*{{article |auteur1=Enrico Bombieri 
 |année=1990|titre=The Mordell conjecture revisited
 | journal=Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.|volume=17| numéro=4| pages=615–640 
 | mr=1093712 | url=http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1990_4_17_4_615_0}}
*{{article |auteur1=Robert F. Coleman 
 | année=1990 | titre=Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields 
 | url=http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001:1990:36::560&id=&id2=&id3= 
 | journal=L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 
 | issn=0013-8584 | volume=36 | numéro=3 | pages=393–427 | mr=1096426
 }}
*{{ouvrage |auteur1 = Gary Cornell | auteur2  = Joseph Hillel Silverman| responsabilité2 =éditeurs 
 |titre=Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984 
 |année=1986 |éditeur=Springer-Verlag |lieu= New York |isbn=0-387-96311-1 
| doi=10.1007/978-1-4613-8655-1 | mr=861969}} — Contient la traduction en anglais de l'article {{harv|Faltings|1983}}
*{{Article |auteur1= Gerd Faltings
 |année=1983 
 |titre=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern 
 |journal=[[Inventiones mathematicae|Inventiones Mathematicae]] 
 |volume=73 |numéro=3 |pages=349–366 |doi=10.1007/BF01388432 
 | mr=0718935}}
*{{Article |auteur1= Gerd Faltings
 |année=1984 |titre=Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern 
 |journal=[[Inventiones mathematicae|Inventiones Mathematicae]] |volume=75 |numéro=2 
 |pages=381 |doi=10.1007/BF01388572 | mr=0732554 }}
*{{article |auteur1= Gerd Faltings
 | année=1991 | titre=Diophantine approximation on abelian varieties 
 | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=133 | numéro=3 | pages=549–576 | doi=10.2307/2944319 | mr=1109353 }}
* {{lien conférence | nom=Faltings | prénom=Gerd | année édition=1994 | titre=The general case of S. Lang's conjecture |langue=en | titre livre=Barsotti Symposium in Algebraic Geometry. Papers from the symposium held in Abano Terme, June 24–27, 1991. | auteurs ouvrage= Valentino Cristante et William Messing (éds.) | isbn=0-12-197270-4 | collection=Perspectives in Mathematics | éditeur =Academic Press, Inc. | lieu=San Diego, CA | mr=1307396}}
*{{article |auteur1=Hans Grauert
 | titre=Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper
 | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0 | année=1965 
 | journal=[[Publications mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | numéro=25 | pages=131–149 | mr=0222087 }}
* {{Article
|auteur1= Brian Lawrence |auteur2 = [[Akshay Venkatesh]]
|titre= Diophantine problems and p-adic period mappings
|périodique= Arxiv
|date= 2018
|arxiv = 1807.02721
|lire en ligne=
|consulté le=23 août 2019
}}
*{{article |auteur1=[[Yuri I. Manin]] 
  | titre=Rational points on algebraic curves over function fields 
  | url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv3174 | année=1963 | langue=russe
  | journal=Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya | issn=0373-2436 | volume=27 | pages=1395–1440 | mr=0157971 }} —  Traduction anglaise : {{article 
 |auteur1=Yuri I. Manin
 | titre=Rational points on algebraic curves over function fields 
 | journal=American Mathematical Society Translations: Series 2 | issn= 0065-9290 | volume=59 | année=1966 | pages=189–234 }}.
*{{article |auteur1=[[Louis Mordell]]
 | titre=On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees
 | année=1922 | journal=Proc. Cambridge Philos. Soc. | volume=21 | pages=179–192 }}
*{{chapitre | auteur1=[[Alexei N. Parshin]] 
 | titre ouvrage =Actes du Congrès International des Mathématiciens | lieu=Nice <!--| year=1970--> | volume=Tome 1 
 | éditeur=Gauthier-Villars | année =1971 
 | titre=Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne | passage = 467–471 
 | url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0467.0472.ocr.pdf 
 | mr=0427323 
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160924235505/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0467.0472.ocr.pdf 
 | archive-date=2016-09-24 }}
*{{EncycloMath|id=M/m064910|auteur1 =Alexei N. Parshin |titre=Mordell conjecture}}
*{{Article|auteur1= Alexei N. Parshin
 |titre=Algebraic curves over function fields I
 |journal= Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Ser. Math.
 |volume=32|année=1968|pages=1191–1219}}
*{{Article|auteur1 = Igor N.Shafarevich
 |titre=Algebraic number fields
 |journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians|année=1963|pages=163–176}}
*{{article | auteur1 = Paul Vojta 
 | titre=Siegel's theorem in the compact case 
 | journal=[[Annals of Mathematics]] | année=1991 | volume=133 | numéro=3 | pages=509–548 | mr=1109352 | doi=10.2307/2944318 }}

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