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Le théorème de Gergonne est le théorème de géométrie affine suivant :
Dans un plan affine , soient ABC un triangle non aplati, et A' , B' , C' trois points appartenant respectivement aux droites (BC ), (CA ) et (AB ). Si les droites (AA' ), (BB' ) et (CC' ) sont concourantes en un point M , alors les mesures algébriques vérifient :
A
′
M
¯
A
′
A
¯
+
B
′
M
¯
B
′
B
¯
+
C
′
M
¯
C
′
C
¯
=
1
.
{\displaystyle {\frac {\overline {A'\,M}}{\overline {A'\,A}}}+{\frac {\overline {B'\,M}}{\overline {B'\,B}}}+{\frac {\overline {C'\,M}}{\overline {C'\,C}}}=1~.}
Démonstration
Soient a, b, c (de somme 1) les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C ) : M est égal à aA+bB+cC donc aussi, par associativité du barycentre , à (a+b )C' +cC , si bien que
C
′
M
¯
C
′
C
¯
=
c
.
{\displaystyle {\frac {\overline {C'\,M}}{\overline {C'\,C}}}=c\ .}
De même,
A
′
M
¯
A
′
A
¯
=
a
et
B
′
M
¯
B
′
B
¯
=
b
,
{\displaystyle {\frac {\overline {A'\,M}}{\overline {A'\,A}}}=a\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\overline {B'\,M}}{\overline {B'\,B}}}=b\ ,}
d'où le résultat, en additionnant les trois.