Théorèmes de Joachimsthal

En géométrie, les théorèmes de Joachimsthal sont des résultats sur les intersections de courbes coniques démontrés par Ferdinand Joachimsthal.

Théorème 1

Théorème de Joachimsthal : si un cercle intersecte une ellipse en quatre points, alors les angles formés par les quatre points ont une somme nulle modulo 2π

Une ellipse centrée en O rencontre un cercle en quatre points distincts. Si on note θ₁, ..., θ₄ les angles à l'origin formés entre le grand axe de l'ellipse et le i^e point, alors $\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}\equiv 0\mod 2\pi$.

Démonstration

Par souci de clarté et sans perte de généralité, on se place dans le repère centré en O et dont les axes sont confondus avec les axes de l'ellipse. Dans ce repère, un paramétrage de l'ellipse est de la forme :

${\begin{cases}x&=a\cos(\theta )\\y&=b\sin(\theta )\end{cases}}$

et le cercle a une équation cartésienne de la forme ${\textstyle x^{2}+y^{2}-2\alpha x-2\beta y+\gamma =0.}$

Ainsi, un point M est un point d'intersection ssi :

$\exists \theta ,a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )-2\alpha a\cos(\theta )-2\beta b\sin(\theta )+\gamma$

$\exists \theta ,(a^{2}-b^{2})\mathrm {e} ^{4{\mathrm {i} }\theta }+4(-\alpha a+\mathrm {i} \beta b)\mathrm {e} ^{3{\mathrm {i} }\theta }+(4\gamma +2a^{2}+2b^{2})\mathrm {e} ^{2{\mathrm {i} }\theta }-4(\alpha a+\mathrm {i} \beta b)\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta }+(a^{2}-b^{2})=0$

C'est un polynôme de degré 4, et les quatre racines $\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{1}},\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{2}},\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{3}},\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{4}}$ vérifient :

$$\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})}=\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{1}}\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{2}}\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{3}}\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{4}}={\frac {(a^{2}-b^{2})}{(a^{2}-b^{2})}}=1\Longleftrightarrow \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}\equiv 0\mod 2\pi$$

Théorème 2

Théorème de Joachimsthal : si du point P partent quatre normales à une ellipse, alors le point symétrique d'un des pieds des normales est sur le cercle circonscrit au triangle formé par les trois pieds.

On considère une ellipse de centre O, et un point P à l'intérieur de l'ellipse. De ce point P, on peut tracer quatre points sur l'ellipse qui sont les pieds de droites normales à l'ellipse. Alors, pour chacun de ces points, son symétrique par rapport à O est sur le cercle circonscrit au triangle formé par les trois autres pieds.

Longchamps et Laguerre montreront aussi que le projeté orthogonal du centre de l'ellipse sur la droite tangente passant par ce point est aussi sur ce cercle.