Théorème de la porte
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Le théorème de la porte est un théorème de géométrie dans l'espace.
Le nom de théorème de la porte lui est parfois donné[1],[2], [3] car cette propriété est utile aux menuisiers pour s'assurer que l'axe de rotation d'une porte est perpendiculaire au plancher.
Énoncé et illustration[modifier | modifier le code]
Théorème de la porte — Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes du plan alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan. On dit alors que la droite est perpendiculaire au plan.
Propriété du menuisier : la droite (d), perpendiculaire aux droites (d1) et (d2) sécantes en O, est perpendiculaire au plan (p) contenant ces deux droites. La porte tourne alors normalement autour de (d)[4].
Cette propriété de géométrie dans l'espace se révèle tellement utile qu'on lui donne parfois le nom de théorème fondamental de l'orthogonalité[4].
Elle se démontre facilement à l'aide du produit scalaire[5]. Mais Daniel Perrin[6] propose une démonstration utilisant uniquement des triangles isométriques: partant d'une droite (d) perpendiculaire en O à deux droites sécantes (d1) et (d2) du plan, il démontre qu'elle est perpendiculaire à toute autre droite (d3) du plan passant par O. Pour ce faire, il envisage une droite du plan coupant les trois droites en A, B et C, prend sur (d) deux points M et N symétriques par rapport à O et travaille successivement sur les triangles isométriques MAB et NAB puis MAC et NAC pour démontrer que (d3) est médiatrice de [MN].
C'est une méthode utile pour démontrer que deux droites sont orthogonales : il suffit de démontrer qu'une des droites est perpendiculaire à un plan contenant l'autre droite[7], ou plus simplement que cette droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan contenant l'autre droite. En particulier, ce théorème permet de démontrer le théorème des trois perpendiculaires[7].
Article connexe[modifier | modifier le code]
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Règles de bases en géométrie de l'espace
- Géométrie dans l'espace - Cours de première
- T. Joffredo, Memento de classe de première
- Collection Terracher, Math Seconde, Hachette Édition, 1994, p. 253
- Voir par exemple, Daniel Perrin, Droite et plan de l'espace pour exposé de Capes, p. 13
- Daniel Perrin, Mathématiques d'école - Nombres, mesures et géométrie, Édition Cassini, 2011, p. 274
- André Deledicq, Maths Lycée Éditions de la cité, 1998, pp 220-221
