Illustration du théorème de Newton : pour cette courbe algébrique plane et ces couples de droites parallèles, on a
En géométrie algébrique, le théorème de Newton précise une invariance sur les rapports de produits des longueurs dessinées par des droites coupant une courbe algébrique.
Plus précisément, on considère une courbe plane Γ algébrique de degré n et et deux directions de droites.
Pour tout point M, si la droite (resp. la droite ) rencontre la courbe en n points (resp. alors le rapport
est indépendant du point M.
Le principe de la démonstration s'appuie sur le fait que, dans un polynôme de degré n, le produit des racines est égal à .
La courbe algébrique a pour équation F(x,y) = 0.
On note (resp. un vecteur unitaire de même direction que (resp. ).
Si M a pour coordonnées (a, b), les mesures algébriques sont les racines du polynôme en λ, . Dans ce polynôme, le coefficient constant est F(a,b) et le coefficient du terme de degré n ne dépend que du polynôme F et de l'angle θ1. En particulier, ce coefficient ne dépend pas des valeurs a et b.