Théorème de Marden
Cet article est une ébauche concernant l’analyse et la géométrie.
En mathématiques, le théorème de Marden, portant le nom du mathématicien Morris Marden, établit une relation géométrique entre les zéros d'un polynôme du troisième degré d'une variable complexe et les zéros de son polynôme dérivé :
- Si les zéros z1, z2, z3 d'un polynôme du troisième degré à coefficients complexes ne sont pas alignés, alors il existe une unique ellipse inscrite dans le triangle de sommets z1, z2, z3 et tangente aux côtés du triangle en leur milieu. Cette ellipse est appelée ellipse de Steiner. Le théorème assure alors que les foyers de cette ellipse sont les zéros du polynôme dérivé de .
Marden attribue ce théorème à Jörg Siebeck[1] et rapporte neuf versions de ce théorème parues entre 1864 et 1928.
Relations additionnelles entre les lieux des racines et l'ellipse inscrite de Steiner
[modifier | modifier le code]Par le théorème de Gauss-Lucas, la racine de la dérivée seconde p"(z) doit être le point moyen des deux foyers, qui est donc le centre de l'ellipse et le centre de gravité du triangle. Dans le cas spécial du triangle équilatéral, l'ellipse inscrite se réduit à un cercle, et la dérivée de p admet une racine double au centre du cercle. La réciproque est vraie : sur la dérivée du polynôme admet une racine double, alors le triangle doit être équilatéral (Kalman 2008a).
Généralisations
[modifier | modifier le code]Une version plus générale du théorème, dans Linfield 1920, s'applique aux polynômes de la forme p(z) = (z − a)i (z − b)j (z − c)k dont le degré i + j + k peut être supérieur à 3, mais n'admettant que trois racines distinctes a, b et c. Pour de tels polynômes, les racines du polynôme dérivé peuvent être trouvées aux racines multiples du polynôme donné (les racines d'exposant supérieur à 1) et aux foyers de l'ellipse dont les points de tangence aux côtés du triangle divisent les côtés par un rapport i : j, j : k et k : i.
Une autre généralisation (Parish 2006) s'étend aux n-gones : certains n-gones admettent une ellipse inscrite tangente aux milieux de chacun de ses côtés. Le théorème de Marden s'applique encore : les foyers de l'ellipse inscrite sont les zéros du polynôme dérivé du polynôme dont les zéros sont aux sommets du n-gone.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- ↑ (de) Jörg Siebeck, « Ueber eine neue analytische Behandlungsweise der Brennpunkte », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 64, , p. 175-182 (lire en ligne)
Sources
[modifier | modifier le code]- (en) Dan Kalman, « An Elementary Proof of Marden's Theorem] », American Mathematical Monthly, vol. 115, no 4, , p. 330-338 (lire en ligne)
- (en) D. Minda et S. Phelps, « Triangles, ellipses, and cubic polynomials », American Mathematical Monthly, vol. 115, no 8, , p. 679-689 (lire en ligne)
- (en) Morris Marden, Geometry of Polynomials, Providence, AMS,
- (en) B.Z. Linfield, « On the relation of the roots and poles of a rational function to the roots of its derivative », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 27, , p. 17–21 (DOI 10.1090/S0002-9904-1920-03350-1).
- (en) James L. Parish, « On the derivative of a vertex polynomial », Forum Geometricorum, vol. 6, , p. 285–288: Proposition 5 (lire en ligne)
