Suite de Somos

En mathématiques, une suite de Somos est une suite de nombres définie par une certaine relation de récurrence ; elles furent découvertes par Michael Somos (en). Il n'est nullement évident d'après leur définition qu'elles soient formées d'entiers, mais c'est cependant le cas des sept premières suites.

Relations de récurrence

Pour un entier k > 1, la k-suite de Somos $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ est définie par la relation de récurrence :

$a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/2}a_{n-(k+1)/2}$

pour k impair, et par la relation similaire

$a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +(a_{n-k/2})^{2}$

pour k pair, avec les valeurs initiales

a_i = 1 pour i < k.

Pour k = 2 ou 3, ces relations définissent la suite constante (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). Les deux premiers cas non triviaux correspondent aux récurrences

$a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}{a_{n-4}}}$

pour k = 4 et

$a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}}}$

pour k = 5.

Les premières valeurs de ces suites sont :

1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (k=4, suite A006720 de l'OEIS),

1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (k=5, suite A006721 de l'OEIS),

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (k=6, suite A006722 de l'OEIS),

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (k=7, suite A006723 de l'OEIS).

Suites d'entiers

Bien que les récurrences précédentes définissent les suites de Somos sous forme de fractions, les suites pour k ≤ 7 ne contiennent que des valeurs entières. Plusieurs mathématiciens ont étudié cette propriété, pour la démontrer ou pour l'expliquer plus généralement, en la reliant en particulier à d'autres questions, comme celle des fonctions thêta sur des surfaces abéliennes.

Pour k ≥ 8, les suites analogues finissent par contenir des valeurs non entières ; même pour k < 7, la même relation de récurrence, mais avec des valeurs initiales différentes, produit également des valeurs non entières en général.

Liens externes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Somos sequence » (voir la liste des auteurs).

• (en) Site de Jim Propp sur les suites de Somos.
• (en) Eric W. Weisstein, « Somos Sequence », sur MathWorld.
• (en) [vidéo] Numberphile, The Troublemaker Number - Numberphile sur YouTube.