Paramètre d'échelle

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Page d'aide sur l'homonymie Cet article traite de statistiques. Pour le paramètre d'échelle en cosmologie, lire l'article distance comobile.

En Théorie des probabilités et en statistiques, un paramètre d'échelle est un paramètre qui régit l'aplatissement d'une famille paramétrique de lois de probabilités. Il s'agit principalement d'un facteur multiplicatif.

Définition[modifier | modifier le code]

Si une famille de densités de probabilité, dépendant du paramètre s est de la forme

f_s(x) = f(x/s)/s, \!

f est une densité, alors s est bien un paramètre d'échelle. Il dirige l'échelle ou encore la dispersion de la distribution. Si s est grand, alors la distribution est très étalée, si s est petit, la distribution est concentrée.

On peut exprimer f_s en fonction de g(x) = x/s, comme suit:

f_s(x) = f(x/s) \times 1/s = f(g(x)) \times g'(x). \!


Re-paramétrisation[modifier | modifier le code]

On peut aussi utiliser l'inverse du paramètre d'échelle. Par exemple, pour la loi exponentielle de paramètre β la densité peut s'écrire

f(x;\beta ) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta} ,\; x \ge 0

ou de manière équivalente comme

f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x} ,\; x \ge 0.

avec λ = 1/β.

Paramètre d'intensité[modifier | modifier le code]

(paramètre d'intensité est une traduction libre de rate parameter)

Certaines densités sont plutôt paramétrées selon un paramètre d'intensité à la place du paramètre d'échelle. Le premier est défini comme l'inverse du second. Par exemple, pour la distribution exponentielle, d'échelle β et de densité

f(x;\beta ) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta} ,\; x \ge 0

pourrait être reformulée à l'aide d'une intensité λ de la manière suivante:

f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x} ,\; x \ge 0.


Exemples[modifier | modifier le code]

  • La loi normale possède deux paramètres: un paramètre de position μ et un paramètre d'échelle σ. En pratique, cette loi se voit aussi paramètrée en fonction du carré de l'échelle, \sigma^2, qui correspond à la variance de la distribution.
  • La distribution Gamma est généralement paramétrée en un paramètre d'échelle \theta ou de son inverse.
  • Des cas spéciaux de distributions où le paramètre d'échelle vaut 1 sont nommés distributions standard sous certaines conditions. Par exemple, si le paramètre de position est égal à 0 et que le paramètre d'échelle vaut 1, la loi normale ainsi que la loi de Cauchy sont dites standard.

Voir aussi[modifier | modifier le code]