Optimisation topologique

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L'optimisation topologique est une méthode mathématique qui permet de trouver la répartition de matière optimale dans un volume donné soumis à des contraintes. Elle se distingue notamment de l'optimisation de forme qui ne fait varier que la frontière de la pièce, qu'il faut avoir dessiné au départ[1].

Mise en œuvre[modifier | modifier le code]

En mécanique, la résolution d'un problème d'optimisation topologique passe par la modélisation de la pièce, ou de l'ensemble de pièces, à optimiser par la méthode des éléments finis. Une méthode classique d'optimisation topologique consiste alors à considérer en tout point du volume d'optimisation une densité de matière variant entre 0 et 1. Ceci dit il existe des méthodes considérant l'orientation locale du matériau (pour les matériaux non isotropes) ou même d'autres caractéristiques. Le problème d'optimisation consiste généralement dans ces méthodes à minimiser l'énergie de déformation de la structure, ce qui revient à peu près à trouver la structure la plus rigide possible. On peut ainsi soit fixer la quantité de matière mise en œuvre pour mettre en avant des formes optimales, pour orienter un design et une optimisation faite par ailleurs, soit chercher directement à définir une forme minimisant la matière à mettre en œuvre pour alléger au maximum la structure, en respectant une contrainte à ne pas dépasser. En pratique afin d'obtenir un résultat exploitable, car c'est un nuage de densité de matière qui est généré a priori et non pas un solide avec une frontière bien définie, il est ajouté des méthodes de pénalisation, de filtrage, et de seuillage [2].

Cette méthode issue des mathématiques a été clairement définie, expliquée et rendue exploitable pour la mécanique dans les années 2000, notamment avec l'article fondateur de Ole Sigmund[3].

Les méthodes d'optimisation topologiques connues à ce jour permettent d'optimiser la résistance mécanique, ou la conductivité thermique, ou certains problèmes d'écoulement fluide.

Les principales étapes et difficultés à franchir sont généralement les suivantes :

  • Définir le cahier des charges de la pièce à concevoir :
    • Espace réellement disponible : il est souvent bien plus grand que la pièce éventuellement existante, et peut être encore agrandi en remettant à plat la fonction réellement à remplir et les contraintes environnantes à cette pièce, ou de l'ensemble de pièces à reconcevoir. Il ne faut pas oublier les zones où la matière est imposée ou interdite (pour des raisons fonctionnelles ou esthétiques).
    • Liaisons mécaniques avec l'environnement : il faut bien remettre à plat les liaisons possibles avec les pièces voisines, car il y a souvent bien plus de liberté pour les zones de fixations que celles envisagées a priori. Il n'est parfois pas évident de distinguer quelles zones bloquer ou quelles zones sont chargées par des forces, le plus pragmatique étant alors d'imaginer comment pourrait être testée la pièce sur un banc d'essai, avec des liaisons fixes et des vérins, par exemple.
    • Efforts mécaniques subis : il faut bien prendre en compte tous les chargements mécaniques vus par la pièce, au-delà de la fonction principale, c.-à-d. les efforts liés à des étapes de fabrication (notamment l'usinage), les efforts liés à la manipulation de la pièce (montage/démontage de la pièce, transport), les efforts accidentels (chocs), par exemple.
    • Symétries et conditions de fabrication (cela étant de mieux en mieux pris en compte par les logiciels de calcul).
  • Lancer le calcul d'optimisation topologique : il faut prendre soin d'adapter la finesse du maillage à la précision spatiale recherchée et aux moyens informatiques dont on dispose, car les calculs peuvent être très longs, il faut viser de faire des premiers calculs à l'échelle de quelques minutes, puis affiner ensuite. Il faut aussi bien vérifier comment sont pris en compte les différents cas de chargement par l'algorithme. En effet si l'on cherche juste la structure la plus rigide possible pour une masse donnée, les énergies des différents chargements sont simplement sommées, il convient alors de les pondérer entre eux, éventuellement. Par contre, si l'objectif est d'obtenir la pièce la plus légère possible qui ne casse pas, pas besoin de pondération.
  • Analyse du résultat : Afin de montrer une pièce facilement compréhensible (avec du vide et du plein bien définis), le résultat est généralement filtré par les logiciels pour l'affichage (par ex. le plein correspond aux zones de densité matière supérieures à 50%, sinon c'est du vide). Il faut donc bien prendre en compte qu'en général c'est une matière plus ou moins dense/poreuse qui est vraiment considérée par l'algorithme, et que les zones éventuelles de matière non reliée au reste sont tout à fait possibles, à l'affichage, car elles sont liées au reste par de la matière à faible densité, non affichée. Il s'agit donc aussi d'un travail d'interprétation du résultat pour définir une pièce faite de vide et de plein, au plus près de ce que l'algorithme propose. Il existe des paramètres, parfois cachés, qui permettent d'explorer plus en détail ces subtilités : seuil d'affichage de la matière (par défaut 50% en général), pénalisation (paramètre limitant les zones de densités autour de 50%, mais pouvant dégrader la convergence des algorithmes), filtrage/lissage (filtre permettant d'éliminer des détails jugés trop petits), et bien sûr la finesse du maillage (qui permet de faire apparaître des détails plus ou moins fins). Il est courant à ce stade qu'on se rende compte que la forme obtenue est absurde, en général parce qu'on a oublié une contrainte majeure, ou parce que le problème est mal posé (par exemple s'il n'y a pas assez de liaisons au bâti pour maintenir la pièce, ou parce que des blocages ou des efforts ont été appliqués sur une zone où la matière est interdite).
  • Dessin et vérification : une fois l'interprétation des résultats consolidée, il s'agit souvent de dessiner une pièce qui garde le plus précisément possible la topologie obtenue (nombre de barres/plaques, orientation, épaisseurs relatives), mais qui soit plus agréable à l'œil, car les formes dites «organiques» obtenues par optimisation topologique ne conviennent pas toujours. Ainsi il arrive même que dès le départ on impose une peau extérieure à la pièce, la partie visible, et que l'optimisation topologique vise uniquement à alléger l'intérieur de la pièce, la partie invisible. Il est optimum si possible d'utiliser des structures lattices (c.-à-d. un réseau serré de poutres ou de parois, comme des mousses), afin de mettre de la matière de densité intermédiaire là où le calcul la fait apparaître, c'est d'ailleurs comme cela que la nature exploite des densités de bois différentes à l'intérieur d'un arbre, ou des densités d'os variables à l'intérieur des vertébrés.

Références[modifier | modifier le code]

  1. G. Allaire, S. Aubry, E. Bonnetier et F. Jouve, « Optimisation Topologique de Structures par Homogénéisation », (consulté le 24 décembre 2008)
  2. Catherine Vayssade, « Optimisation mécanique, Optimisation topologique », (consulté le 24 décembre 2008)
  3. (en) Sigmund O., « A 99 line topology optimization code written in Matlab », Struct Multidisc Optim 21, 120–127, Springer-Verlag 2001,‎ (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Optimisation (mathématiques)

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • Topopt Research Group, site universitaire très complet sur l'optimisation topologique.
  • Topostruct, logiciel gratuit d'optimisation topologique.
  • Inspire, logiciel commercial d'optimisation de structures, en particulier par optimisation topologique