Module de convergence

En analyse réelle un module de convergence est une fonction qui indique à quelle vitesse une séquence convergente converge. Ces modules sont souvent employés dans l'étude de l'analyse calculable et des mathématiques constructives.

Si une suite de nombres réels (x_i) converge vers un nombre réel x, alors par définition, pour tout réel $\epsilon >0$ il existe un entier naturel N tel que si i > N alors $|x-x_{i}|<\epsilon$. Un module de convergence est une fonction qui, étant donné ε, renvoie une valeur correspondante de N.

Définition

Supposons que (x_i) est une suite convergente de nombres réels de limite x. Il existe deux manières de définir un module de convergence comme une fonction de $\mathbb {N}$ vers $\mathbb {N}$

• Comme une fonction $f(n)$ telle que pour tout $n$, si $i>f(n)$ alors $|x-x_{i}|<{{1} \over {n}}$
• Comme une fonction $g(n)$ telle que pour tout $n$, si $i\geq {j}>g(n)$ alors | x _i − x _j | < $1 \over {n}$

Cette dernière définition est souvent employée dans des contextes constructifs, où la limite x peut en fait être identifiée à la séquence convergente. Certains auteurs utilisent une autre définition qui remplace $1 \over n$ par $2^{-n}$.

Voir également

• Module de continuité

Référence

• Klaus Weihrauch (2000), Computable Analysis.