Voir la source de Lemme de Gauss (polynômes)

{{Voir homonymes|Théorème de Gauss}}

En [[mathématiques]], le '''[[Lemme (mathématiques)|lemme]] de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]''' originel énonce que si un [[polynôme]] à coefficients [[Entier relatif|entiers]] est produit de deux [[Polynôme unitaire|polynômes unitaires]] à coefficients [[Nombre rationnel|rationnels]], ceux-ci sont en fait nécessairement à coefficients entiers.

Sa version moderne en est une double généralisation, remplaçant l'[[anneau unitaire|anneau]] des entiers par un [[anneau factoriel]] ''A'', et stipulant que le produit de deux polynômes primitifs ({{c.-à-d.}} à coefficients [[Primalité dans un anneau#Éléments premiers entre eux et élément irréductible|premiers entre eux]]) est primitif. Elle permet de démontrer la factorialité de l'anneau ''A''[''X''].

==Versions historiques==
Le lemme originel apparaît dans les ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'' de Gauss, à l'article 42, sous la forme [[contraposée]] suivante<ref>Cité d'après la {{Note autre projet|Wikisource|Recherches_arithmétiques/Section_seconde|traduction française faite par Poullet-Delisle en 1807|début=}} (Le traducteur utilise le mot « fonctions » à la place de « polynômes ».)</ref> :
{{Théorème|nom=Version de Gauss|Soient deux polynômes unitaires
<math>P=X^m+a_{m-1}X^{m-1}+\dots+a_1X+a_0</math> et <math>Q=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\dots+b_1X+b_0.</math>

Si leurs coefficients <math>a_0,a_1,a_2,\ldots,a_{m-1},b_0,b_1,b_2,\ldots b_{n-1}</math> sont tous rationnels, sans être tous entiers,

alors leur produit {{mvar|PQ}} a au moins un coefficient qui n'est pas entier.
|style=display:table}}
{{Démonstration|titre=Démonstration de la version de Gauss à partir de la version moderne ci-dessous|
On peut même remplacer, comme dans la version moderne, l'anneau des entiers par n'importe quel anneau intègre ''A'' à PGCD, et le [[Corps commutatif|corps]] des rationnels par le corps ''K'' des fractions de ''A''.

Il s'agit de prouver que pour tous polynômes unitaires <math>P,Q\in K[X]</math>, si <math>PQ\in A[X]</math> alors <math>P,Q\in A[X]</math>.

Par hypothèse, <math>c(P)=\frac1a</math> et <math>c(Q)=\frac1b</math> avec <math>a,b\in A</math>, et <math>\frac1{ab}=c(PQ)\in A</math>, donc <math>a,b</math> sont des inversibles de ''A'', ce qui prouve que <math>P,Q\in A[X]</math>.
}}
[[Harold Edwards]] remarque que cette version historique a l'avantage, par rapport à la {{Citation|version moderne}} ci-dessous, de se prêter à une {{Citation|profonde généralisation}}, dans laquelle les entiers usuels sont remplacés par les [[Entier algébrique|entiers algébriques]], et les nombres rationnels par les [[Nombre algébrique|nombres algébriques]]<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Divisor Theory|auteur=[[Harold Edwards|Harold M. Edwards]]|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|date=1990|url={{Google Livres|QQZLAAAAQBAJ|page=1}}|page=1}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Algebra II|auteur=Alexey L. Gorodentsev|éditeur=Springer|date=2017|url={{Google Livres|9UkfDgAAQBAJ&|page=229}}|page=229}}, l'énonce sous le nom de {{Citation|lemme de Gauss-Kronecker-Dedekind}}, en remplaçant les entiers algébriques par les [[Élément entier|éléments entiers]] sur un [[anneau commutatif]] [[Anneau unifère|unifère]] quelconque ''A'' et le corps des nombres algébriques par un sur-anneau quelconque de ''A''.</ref>. [[Richard Dedekind]] a redécouvert (dix ans après [[Leopold Kronecker]]) une version encore plus générale (il l'avait dans un premier temps formulée seulement pour les entiers usuels){{Sfn|Edwards|1990|p=2-4}} : 
{{Théorème|nom={{Citation|Théorème de Prague}} de Dedekind|Soient {{mvar|P}} et {{mvar|Q}} deux polynômes à coefficients algébriques. Si les coefficients du produit {{mvar|PQ}} sont des entiers algébriques, alors le produit de n'importe quel coefficient de {{mvar|P}} par n'importe quel coefficient de {{mvar|Q}} est un entier algébrique.
|style=display:table}}
La version de Kronecker était en réalité bien plus générique<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Thierry Coquand]]|auteur2=Henrik Persson|titre=[[Valuation]]s and Dedekind’s Prague theorem|revue=[[Journal of Pure and Applied Algebra|J. Pure Appl. Algebra]]|vol=155|p.=121-129|date=2001|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.47.1052&rep=rep1&type=pdf}}, Th. 6.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|titre=Valuation and divisibility|auteur=Nicholas Phat Nguyen|revue=arXiv|arxiv=1404.6215|date=2014}}, Cor. 7.7.</ref> :
{{Théorème|nom=Théorème de Kronecker|Dans l'anneau <math>\Z[a_0,\dots,a_m,b_0,\dots,b_n]</math> de [[Polynôme en plusieurs indéterminées|polynômes en {{math|''m'' + ''n'' + 2}} indéterminées]], soit {{mvar|C}} le [[Sous-anneau#Sous-anneau engendré par un ensemble|sous-anneau engendré]] par les <math>c_k:=\sum_{i+j=k}a_ib_j</math> ({{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''m'' + ''n''}}). Alors, chacun des {{math|(''m'' + 1)(''n'' + 1)}} éléments <math>a_ib_j</math> est [[Élément entier|entier sur {{mvar|C}}]].
|style=display:table}}
De plus, en se passant (comme le théorème de Prague) de l'hypothèse « polynômes unitaires », elle englobait aussi la version moderne ci-dessous{{Sfn|Edwards|1990|p=2-4}} : 
{{Démonstration|titre=Démonstration de la version moderne ci-dessous à partir du théorème de Kronecker|
Soient ''A'' un anneau intègre à PGCD et <math>P=\sum_{i=1}^mp_iX^i,Q=\sum_{j=1}^nq_jX^j\in A[X]</math> deux polynômes primitifs. Soit <math>d\in A</math> tel que <math>PQ\in dA[X]</math>. Alors, chaque <math>p_iq_j/d</math> est entier sur ''A'' donc appartient à ''A'' (car ''A'' est [[Anneau intégralement clos|intégralement clos]]), si bien que {{mvar|d}} divise <math>\operatorname{PGCD}(\{p_iq_j\mid0\le i\le m,0\le j\le n\})=\operatorname{PGCD}(p_0,\dots,p_m)\times\operatorname{PGCD}(q_0,\dots,q_n)=1</math>. Ainsi, tout diviseur commun aux coefficients de {{mvar|PQ}} est inversible, c'est-à-dire que {{mvar|PQ}} est primitif.
}}

==Version moderne==
{{Article détaillé|Anneau factoriel|Anneau à PGCD}}
Pour exprimer la version moderne du lemme de Gauss, on a besoin de deux notions : celle de '''polynôme primitif''' et celle de '''contenu d'un polynôme''' :
{{énoncé|1=
|2=Soient ''A'' un [[anneau intègre]] et ''K'' son [[corps des fractions]].
*Un polynôme ''P = a''{{ind|0}} + ''a''{{ind|1}}''X'' + … + ''a{{ind|n}}X{{exp|n}}'' de ''A''[''X''] est dit primitif si [[Plus grand commun diviseur|PGCD]](''a''{{ind|0}}, ''a''{{ind|1}}, … , ''a{{ind|n}}'') = 1.
*Si ''A'' est [[Anneau à PGCD|à PGCD]], tout polynôme ''P'' de ''K''[''X''] s'écrit comme le produit d'une constante de ''K'' et d'un polynôme primitif de ''A''[''X'']. Cette constante, appelée contenu de ''P'' et notée ''c''(''P''), n'est définie qu'à produit près par un inversible de ''A'', et elle appartient à ''A'' si et seulement si ''P'' est à coefficients dans ''A''.}}
{{Démonstration|titre=Preuve de ces propriétés élémentaires du contenu|1=
*'''Le contenu de ''P'' existe et est unique à produit près par un élément inversible de ''A'' :'''
**Existence. Les coefficients de ''P'' sont des fractions d'éléments de ''A''. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun ''b'' (par exemple le produit de leurs dénominateurs respectifs), ''P'' s'écrit ''R''/''b'' avec ''b'' élément non nul de ''A'' et ''R'' polynôme à coefficients dans ''A''. En mettant en facteur le pgcd ''d'' des coefficients de ''R'', on obtient ''P'' = ''dS''/''b'' avec ''S'' primitif, donc ''d''/''b'' est un contenu pour ''P''.
**Unicité. Si <math>\frac dbS=\frac{d'}{b'}T</math> avec <math>d,d'\in A,b,b'\in A^*,S=\sum s_iX^i,T=\sum t_iX^i\in A[X]</math> et <math>S,T</math> primitifs alors <math>b'dS=bd'T</math> donc à produit près par un inversible de ''A'', <math>b'd=\operatorname{pgcd}(b'ds_i)=\operatorname{pgcd}(bd't_i)=bd'</math>.
* '''Le contenu de ''P'' appartient à ''A'' si et seulement si ''P'' est à coefficients ''A'' :'''<br />Le « seulement si » est immédiat. Réciproquement, si ''P'' est à coefficients dans ''A'', alors (d'après la preuve d'existence précédente) cont(''P'') est le pgcd de ces éléments de ''A''.
}}
La version moderne du lemme de Gauss est alors, selon les auteurs, l'un<ref name=Rombaldi>{{Ouvrage|titre=Leçons d'oral pour l'[[agrégation de mathématiques]], seconde épreuve|sous-titre=les exercices|auteur=Jean-Étienne Rombaldi|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|date=2019|url={{Google Livres|brGZDwAAQBAJ|page=67}}|page=67}}, mais seulement pour ''A'' = ℤ.</ref> ou l'autre<ref>{{Ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique|Algèbre commutative]]|url={{Google Livres|Bb30CjGW7EAC|page=505}}|numéro chapitre=7}}, § 3, {{n°|5}}, lemme 1.</ref>{{,}}<ref name=Lang>{{Lang1}}, chap. V, § 6 (éd. ang. p. 126-128).</ref>{{,}}<ref name=Gourdon>{{Ouvrage|collection=Les maths en tête|titre=Algèbre et probabilités|auteur=Xavier Gourdon|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|date=2021|url={{Google Livres|DSNEEAAAQBAJ|page=62}}|page=62}}, mais seulement pour des polynômes de ℤ[''X''].</ref> des deux théorèmes équivalents suivants, ou les deux<ref name=RamisWarusfel>{{Ouvrage|titre=Mathématiques, tout-en-un pour la licence 3|numéro d'édition=2|sous-titre=cours complet avec applications et 300 exercices corrigés|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|éditeur=[[Dunod]]|date=2021|url={{Google Livres|j3E4EAAAQBAJ|page=12}}|page=12}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Algèbre et géométrie|collection=Objectif Licence|auteur=Guy Auliac|auteur2=Jean Delcourt|auteur3=Rémi Goblot|éditeur=[[Éditions Dunod|ÉdiScience]]|date=2005|url={{Google Livres|6lAD0Awq-QQC|page=63}}|page=63}}, mais seulement pour des polynômes de ''A''[''X''].</ref>, énoncés le plus souvent seulement pour un [[anneau factoriel]] ''A''. 
{{Théorème|nom=Version moderne du lemme de Gauss|1=Soient ''A'' un anneau intègre à PGCD et ''K'' son corps des fractions.
#Si deux polynômes ''P'' et ''Q'' de ''A''[''X''] sont primitifs, leur produit ''PQ'' est primitif<ref name=Tang/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Irving Kaplansky]]|titre=Commutative Rings|éditeur=[[University of Chicago Press]]|date=1970|numéro chapitre=1.6|page=42}}, exercice 8.</ref>.
#Pour tous polynômes ''P'' et ''Q'' de ''K''[''X''], ''c''(''PQ'') = ''c''(''P'')''c''(''Q'')<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Ray Mines|auteur2=Fred Richman|auteur3=Wim Ruitenburg|titre=A Course in Constructive Algebra|éditeur=Springer|date=2012|url={{Google Livres|4W0QBwAAQBAJ|page=123}}|page=123}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Pete L. Clark|titre=Commutative algebra|date=2015|url=http://alpha.math.uga.edu/~pete/integral2015.pdf|site=alpha.math.[[Université de Géorgie|uga.edu]]|page=282}}, Th. 15.24.</ref>.
|style=display:table}}
Plus précisément<ref>{{Chapitre|lang=en|titre=Some Generalizations of GCD-Domains|auteur=D. D. Anderson|auteur2=R. O. Quintero|titre ouvrage=Factorization in Integral Domains|date=1997|éditeur=[[Marcel Dekker]]|auteurs ouvrage=D. D. Anderson|page=189-195|url=https://www.researchgate.net/profile/Dan-Anderson/publication/304040164_Some_Generalizations_of_GCD_Domains/links/576467e008ae1658e2ee364a/Some-Generalizations-of-GCD-Domains.pdf}}, en particulier Th. 3.1, Ex. 3.7 et Ex. 3.12.</ref>, pour tout anneau intègre ''A'' :
*si ''A'' est à PGCD alors [[Lemme d'Euclide#Démonstration directe du lemme de Gauss|il vérifie le lemme de Gauss usuel]] : si ''a'' divise ''bc'' et si ''a'' est [[Primalité dans un anneau#Éléments premiers entre eux et élément irréductible|premier avec]] ''b'', alors ''a'' divise ''c'' ;
*s'il vérifie ce lemme alors [[Lemme d'Euclide#Primalité avec un produit|il vérifie la propriété « PP »]] (primalité avec un produit) : si ''a'' est premier avec ''b'' et ''c'' alors il est premier avec ''bc'' ;
*PP équivaut au point 1 ci-dessus (donc aussi au point 2 lorsque ''A'' est à PGCD) ;
*les deux implications élémentaires « à PGCD ⇒ Gauss usuel » et « Gauss usuel ⇒ PP » sont strictes.
L'implication « PP ⇒ point 1 » est donc le point clé de la version moderne ci-dessus.
{{Démonstration|titre=Preuve de ce point clé|
Raisonnons par l'absurde, en supposant que (pour un certain anneau ''A'' vérifiant PP) il existe deux polynômes primitifs <math>P=\sum a_iX^i,Q=\sum b_jX^j\in A[X]</math> dont le produit {{mvar|PQ}} est divisible par un élément non inversible de ''A''. Choisissons alors un couple <math>(i,j)</math> de somme maximum, parmi les couples d'indices tels qu'un certain diviseur non inversible {{mvar|d}} de {{mvar|PQ}} divise aussi <math>a_0,\dots,a_{i-1},b_0,\dots,b_{j-1}</math>. Par maximalité, {{mvar|d}} est premier avec <math>a_i</math> et <math>b_j</math> donc avec leur produit, si bien qu'il ne divise pas <math>a_ib_j</math>. Mais ceci est absurde, puisqu'il divise tous les autres termes de la somme <math>\sum_{i'+j'=i+j}a_{i'}b_{j'}</math> et qu'il divise cette somme.
}}

==Applications==
Le corollaire suivant de cette version moderne est énoncé lui aussi le plus souvent seulement pour un anneau ''A'' factoriel<ref name=Lang/>{{,}}<ref name=RamisWarusfel/>, et avec « [[Primalité dans un anneau#Éléments indissolubles entre eux et élément premier|premier]] dans ''A''[''X''] » remplacé (provisoirement) par « [[Polynôme irréductible|irréductible]] dans ''A''[''X''] »{{sfn|Auliac|Delcourt|Goblot|2005|p=63-64}}{{,}}<ref name=Escofier>{{Ouvrage|titre=Toute l'algèbre de la licence|numéro d'édition=5|sous-titre=Cours et exercices corrigés|auteur=Jean-Pierre Escofier|éditeur=Dunod|date=2020|url={{Google Livres|4Z_qDwAAQBAJ|page=506}}|page=506-507}}.</ref>{{,}}<ref name=Rombaldi/>{{,}}<ref name=Gourdon/>. Il est parfois appelé lui aussi « lemme de Gauss »<ref>{{Ouvrage|titre=Algèbre pour la licence 3|sous-titre=groupes, anneaux, corps|auteur=Jean-Jacques Risler|auteur2=Pascal Boyer|éditeur=Dunod|date=2006|url={{Google Livres|Axb-Zs73FO8C|page=100}}|page=100}}, mais seulement pour ''A'' = ℤ.</ref> :

{{Théorème|nom=Corollaire<ref name=Tang>{{Article|lang=en|auteur=Hwa Tsang Tang|titre=Gauss' lemma|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]|vol=35|date=1972|p.=372-376|doi=10.1090/S0002-9939-1972-0302638-1}}.</ref>|Soient ''A'' un anneau intègre à PGCD et ''K'' son corps des fractions. Les éléments premiers de ''A''[''X''] sont :
*les éléments premiers de ''A'' ;
*les polynômes primitifs de ''A''[''X''] irréductibles dans ''K''[''X''].
|style=display:table}}
{{Démonstration|1=
Soit ''P'' un polynôme non constant à coefficients dans ''A''.
*Supposons ''P'' premier dans ''A''[''X'']. Alors [[Primalité dans un anneau#Liens entre ces trois notions|il est irréductible]] dans ''A''[''X''] donc :
**''P'' est primitif ;
**de plus, si ''P = BC'' avec ''B'' et ''C'' dans ''K''[''X''] alors, d'après le lemme de Gauss, ''P = QR'' avec ''Q = B''/''c''(''B'') et ''R = C''/''c''(''C'') dans ''A''[''X''], si bien que ''Q'' ou ''R'' est inversible dans ''A''[''X''] donc ''B'' ou ''C'' est inversible dans ''K''[''X''].
*Réciproquement, supposons ''P'' primitif et irréductible dans ''K''[''X''] et montrons qu'il est premier dans ''A''[''X''].
*:Supposons que ''P'' divise ''QR'' dans ''A''[''X'']. Comme ''P'' divise ''QR'' dans ''K''[''X''], il divise (par exemple) ''Q'' dans ''K''[''X'']. Le polynôme ''S := Q''/''P'' vérifie alors ''c''(''S'') = ''c''(''Q'')/''c''(''P'') = ''c''(''Q'') ∈ ''A'' donc ''S'' ∈ ''A''[''X''], donc ''P'' divise ''Q'' dans ''A''[''X''].
Soit maintenant ''p'' un élément de ''A''. Si ''p'' est premier dans ''A''[''X''], il est clairement premier dans ''A''. Réciproquement, s'il est premier dans ''A'' et s'il divise ''QR'' dans ''A''[''X''], alors il divise ''c''(''QR'') = ''c''(''Q'')''c''(''R'') donc il divise (par exemple) ''c''(''Q'') dans ''A'', donc ''p'' divise ''Q'' dans ''A''[''X''].
}}

On déduit de ce corollaire que si ''A'' est un anneau intègre à PGCD alors l'anneau de [[polynôme en plusieurs indéterminées|polynômes en plusieurs indéterminées]] ''A''[(''X{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}}] aussi (que ''I'' soit fini ou infini), et que de même, si ''A'' est un anneau factoriel alors l'anneau de polynômes ''A''[''X''] est factoriel<ref name=Lang/>{{,}}<ref name=RamisWarusfel/>{{,}}<ref name=Tang/>{{,}}<ref name=Escofier/>{{,}}{{sfn|Auliac|Delcourt|Goblot|2005|p=63-64}} (donc tout anneau de polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans ''A'' est aussi factoriel<ref name=Lang/>).

Ce corollaire peut aussi être utilisé pour démontrer le [[Critère d'Eisenstein|critère d'irréductibilité d'Eisenstein]]{{sfn|Risler|Boyer|2006|p=100}}{{,}}{{sfn|Gourdon|2021|p=62}}.

Enfin, la version de Gauss suffit pour démontrer que les [[Polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]] (unitaires à coefficients entiers) [[Polynôme cyclotomique#Cas du corps des nombres rationnels|sont irréductibles]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
{{Article|lang=en|auteur=Jimmy T. Arnold|auteur2=Philip B. Sheldon|titre=Integral domains that satisfy Gauss's lemma|revue=[[Michigan Mathematical Journal|Michigan Math. J.]]|vol=22|numéro=1|p.=39-51|date=1975|doi=10.1307/mmj/1029001420}}

{{Palette|Gauss}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Polynôme]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss]]
[[Catégorie:Lemme de mathématiques|Gauss]]