Voir la source de Indépendance linéaire

[[File:Vec-indep.png|thumb|right|Trois vecteurs de <math>\R^3</math> linéairement indépendants.]]
[[File:Vec-dep.png|thumb|right|Trois vecteurs de <math>\R^3</math> linéairement dépendants car [[coplanaire]]s.]]

En [[algèbre linéaire]], étant donné une [[famille (mathématiques)|famille]] de [[vecteur]]s d'un même [[espace vectoriel]], les vecteurs de la famille sont '''linéairement indépendants''', ou forment une '''famille libre''', si la seule [[combinaison linéaire]] de ces vecteurs qui soit égale au [[vecteur nul]] est celle dont tous les coefficients sont nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire des autres. 

Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, on dit qu'ils sont '''linéairement dépendants''', ou qu'ils forment une '''famille liée'''.

== Définitions ==
Soient ''E'' un espace vectoriel et ''K ''son [[Corps commutatif|corps]] des [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]].

Une famille (finie ou infinie) <math>(v_i)_{i\in I}</math> de vecteurs de ''E ''est dite libre, ou encore, la famille est constituée de vecteurs {{Citation|linéairement indépendants<ref>{{Ouvrage|id=Lang 1965|lang=en|prénom=Serge|nom=Lang|lien auteur1=Serge Lang|titre=Algebra|année=1965|référence=Référence:Algèbre (Lang)}}, 1965, p. 81.</ref>}}, si la seule [[combinaison linéaire]] des vecteurs <math>v_i</math> égale au vecteur nul 0{{ind|''E''}} est celle dont tous les coefficients sont nuls (autrement dit : si toute combinaison linéaire des <math>v_i</math> à coefficients non tous nuls est différente du vecteur nul).
* Lorsqu'il s'agit d'une famille finie <math>(v_i)_{1\leq i\leq n}</math>, cette condition s'écrit :<center><math>\forall (a_1, \ldots, a_n)\in K^n, \quad \left(a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0_E\Rightarrow a_1=a_2=\cdots=a_n=0_K\right).</math></center>
* Lorsque la famille <math>(v_i)_{i\in I}</math> est quelconque (finie ou pas), la condition s'écrit :<center><math>\forall (a_i)\in K^{(I)}, \quad \left(\sum a_iv_i=0_E\Rightarrow \forall i\in I,~a_i=0\right),</math></center>où un élément de {{math|''K''{{exp|(''I'')}}}} est une famille, indexée par {{math|''I''}}, de scalaires tous nuls sauf un nombre fini.

Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants, ou encore la famille est dite liée. Ainsi, <math>(v_i)_{i\in I}</math> est une famille de vecteurs liée s'il existe une famille <math>(a_j)_{j\in I}</math> d'éléments de ''K ''tous nuls sauf un nombre fini ''non nul'', telle que 
<center><math>\sum_{i\in I}a_iv_i=0_E.</math></center>

À partir des notions de famille libre ou liée, on définit celles de [[sous-ensemble|partie]] libre ou liée : une partie ''A ''de ''E ''est dite libre (resp. liée) si la famille <math>(a)_{a\in A}</math> l'est.

== Exemples ==
=== Exemple 0 ===
Dans l'espace vectoriel ℝ{{3}}, les trois vecteurs (2, –1, 1), (1, 0, 1) et (3, –1, 2) forment une famille liée car (2, –1, 1) + (1, 0, 1) – (3, –1, 2) = (0, 0, 0).

=== Exemple 1 ===
Dans l'espace vectoriel ℝ{{4}}, les trois vecteurs (4, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 0) et (6, 2, 4, –3) sont linéairement indépendants car leurs coordonnées, disposées en colonnes juxtaposées, forment une matrice

:<math>\begin{pmatrix}4&2&6\\
2&0&2\\
1&3&4\\
3&0&-3\end{pmatrix}</math>
dont le [[Rang d'une matrice|rang]] est égal au nombre de vecteurs. En effet le [[Mineur (algèbre linéaire)|3-mineur]]
:<math>\begin{vmatrix}2&0&2\\
1&3&4\\
3&0&-3\end{vmatrix}=-36</math>
est non nul donc le rang de la matrice est 3.

=== Exemple 2 ===
Toute [[Base (algèbre linéaire)|base]] est (par définition) une famille libre, en particulier la [[base canonique]] du ''K''-espace vectoriel ''K''{{exp|''n''}}.

=== Exemple 3 ===
Dans l'espace vectoriel réel des [[Fonction réelle d'une variable réelle|fonctions de ℝ dans ℝ]], l'[[ensemble infini]] non [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] des fonctions <math>f_{\lambda}:t\mapsto{\rm e}^{\lambda t}</math> pour <math>\lambda</math> réel est libre.
{{Démonstration/début}}
Soit <math>(a_\lambda)_{\lambda\in\R}\in\R^{(\N)}</math> tel que
<center><math>\sum a_\lambda f_\lambda=0.</math></center>
Si le nombre ''n ''des réels <math>\lambda</math> pour lesquels <math>a_\lambda\ne0</math> est non nul, en les notant <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_n</math> et en notant <math>a_1,\ldots,a_n</math> les coefficients associés, l'équation se réécrit :
<center><math>\sum_{k=1}^na_k f_{\lambda_k}=0.</math></center>

En posant <math>x_k={\rm e}^{\lambda_k}</math> et en évaluant l'équation ci-dessus en les réels 0, 1, 2, … , ''n ''– 1, on obtient que la [[matrice de Vandermonde]]
:<math>\begin{pmatrix}
1&x_1&x_1^2&\dots&x_1^{n-1}\\
1&x_2&x_2^2&\dots&x_2^{n-1}\\
1 & x_3&x_3^2&\dots&x_3^{n-1}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
1 & x_n&x_n^2&\dots&x_n^{n-1}\end{pmatrix}</math>
associée au ''n''-uplet <math>(x_1,\dots,x_n)</math> a ses lignes liées par les coefficients <math>a_k</math>. Comme son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] est non nul, cela est absurde, donc ''n ''= 0, c'est-à-dire que tous les <math>a_\lambda</math> sont nuls.
{{Démonstration/fin}}

On démontre de même que plus généralement, dans l'espace vectoriel [[Nombre complexe|complexe]] des fonctions de ℝ dans ℂ, l'ensemble des fonctions <math>f_{\lambda}:t\mapsto{\rm e}^{\lambda t}</math> pour <math>\lambda</math> complexe est libre.

== Propriétés ==

* La famille (''v'') et la partie {''v''} sont libres si et seulement si le vecteur ''v ''est non nul.
* La famille (''v''<sub>1</sub>,''v''<sub>2</sub>) est liée si et seulement si ''v''<sub>1</sub> et ''v''<sub>2</sub> sont [[Colinéarité|colinéaires]] (en particulier, la famille (''v'',''v'') est toujours liée, que ''v'' soit nul ou pas).
* Si l'une des sous-familles d'une famille est liée (en particulier si deux de ses vecteurs sont colinéaires ou si l'un d'entre eux est nul), alors cette famille est liée. [[Proposition contraposée|Autrement dit]], si une famille est libre, alors toutes ses sous-familles sont libres.
* Une famille est liée si et seulement si l'un de ses éléments est combinaison linéaire des autres.
*Comme une combinaison linéaire porte sur un nombre fini de termes, une famille infinie est libre si et seulement si toutes ses sous-familles finies le sont<ref>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique|Algèbre]]'', p. A-II-26, proposition 18.</ref>.
* La famille [[Ensemble vide#Difficultés de la notion d'ensemble vide|vide]] et la partie vide sont libres<ref>{{Artin1}}, 3.14, p. 92.</ref>.
*Si ''K'' est le [[corps des fractions]] d'un [[anneau intègre]] ''A'' (par exemple si ''K'' = [[Nombre rationnel|ℚ]] et ''A'' = [[Entier relatif|ℤ]]), une famille de vecteurs de ''E'' est ''K''-libre si et seulement si elle est [[Module libre#Définitions|''A''-libre]] (dans ''E'' vu comme [[Module sur un anneau|''A''-module]]).

== Espace projectif des dépendances linéaires ==
Une relation de dépendance linéaire de <math>n</math> vecteurs <math>v_1,\ldots,v_n</math> peut être représentée par un <math>n</math>-[[n-uplet|uplet]] <math>(a_1,\ldots, a_n)</math> de <math>n</math> scalaires, non tous nuls, tels que
:<math>a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0_E.</math>

Si une telle relation de dépendance linéaire existe, alors les <math>n</math> vecteurs sont linéairement dépendants. Il est alors possible d'identifier deux relations de dépendances linéaires si l'une est multiple non nul de l'autre relation, parce que dans ce cas les deux correspondent à la même dépendance linéaire des vecteurs entre eux. Sous cette identification, l'ensemble des <math>n</math>-uplets décrivant les dépendances linéaires des vecteurs <math>v_1, \ldots,v_n</math> est un [[espace projectif]].

==Notes et références==
{{Références}}

==Voir aussi==
===Articles connexes===
*[[Indépendance algébrique]]
*[[Indépendance affine]]
*[[Lemme de Steinitz]]
*[[Matroïde]] (paragraphe généralisation du concept)
*[[Orthogonalité]]
=== Lien externe ===
{{Lien web|auteur=Christine Graffigne|auteur2=Avner Bar-Hen|titre=Cours L1, S1, Notion de famille libre|url=http://www.math-info.univ-paris5.fr/~avner/MC1/L1_S1/cours/cv/node12.html|site=[[université Paris 5]]<!--|consulté le=2016-11-14-->}}

{{Palette|Algèbre linéaire}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Espace vectoriel]]