Cet article constitue essentiellement une introduction à l'article sur les équations de Cauchy-Riemann qu'il permet d'aborder directement. Il définit, pour les fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes, les dérivées partielles (par rapport à
ou
) et la différentiabilité au sens réel.
On considère une fonction
d'une variable complexe, définie sur un sous-ensemble ouvert U du plan complexe
. On utilisera les notations suivantes :
- la variable complexe
sera notée
, où x, y sont réels ;
- les parties réelle et imaginaire de
seront notées respectivement
et
, c'est-à-dire :
, où
sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.
Dérivées partielles d'une fonction d'une variable complexe[modifier | modifier le code]
Définition : soit
, où
sont réels.
- on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point
par rapport à la variable x, notée
si la limite (finie)
existe
- on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point
par rapport à la variable y, notée
si la limite (finie)
existe
Propriété :
- la dérivée partielle
existe si et seulement si les dérivées partielles
,
existent, et alors ![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642d890518ffd98f297bcba60b23f57d6c2e880f)
- la dérivée partielle
existe si et seulement si les dérivées partielles
,
existent, et alors ![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c0a64e364b6e7ca8bd641aa584b064e2b47871)
Dérivées partielles d'ordre supérieur :
- si, par exemple,
existe en tout point
, on définit la fonction ![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}:U\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x}}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b326c6beb821028804d9ae249dd26d2c3d383f4)
- si, de plus, la fonction
admet une dérivée partielle d'ordre 1 au point
par rapport à la variable x, on la note
:
. De manière analogue, si
existe, on la note
, etc.
Dérivées partielles par rapport à z et son conjugué[modifier | modifier le code]
Définition : on suppose que f admette des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y au point
. Alors, on définit :
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})-i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb96c9a674baf48b2f71990fc1239e97ee832ca9)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})+i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4eccdfe68a15cfffa874dc286ebc22a6c447865)
Propriété : en conservant les hypothèses précédentes
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f55ccc0aedfb0b712fa4a7de990f2367e5d7614)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=i\,\left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})-{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8008202a0caf03ec5fae70571f30d8313309bec)
Différentiabilité au sens réel des fonctions d'une variable complexe[modifier | modifier le code]
On dit qu'une fonction d'une variable complexe est différentiable au sens réel, ou
-différentiable en un point si on peut l'approcher localement (au voisinage de ce point) par la somme d'une constante et d'une fonction
-linéaire ; cette dernière est alors unique, et s'appelle différentielle de la fonction au point considéré.
Plus précisément, cela veut dire que
, en tant que fonction de deux variables réelles, admet au voisinage du point considéré un développement limité d'ordre 1, dont la différentielle est la partie linéaire.
- Définition : on dit qu'une application
est
-linéaire si :
.
- (alors :
)
- Définition : on dit que la fonction
est
-différentiable en un point
s'il existe une application
-linéaire
et une fonction
d'une variable complexe telles que
lorsque
et
(en supposant que
, où r est le rayon d'une boule ouverte telle que
).
- Lorsqu'elle existe, l'application L est unique (ceci résulte de la propriété suivante) ; on l'appelle
-différentielle ou différentielle de
en
et on la note habituellement
.
- On dit que
est
-différentiable sur U si elle est
-différentiable en tout point de U.
- Propriété : si
est
-différentiable en un point
, alors :
- elle est continue en
;
- elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en
, et
,
.
Démonstration :
- continuité :
lorsque
parce que
(la
-différentielle L est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, donc elle est continue) et
.
- existence et expression des dérivées partielles d'ordre 1 :
- pour tout u réel tel que
,
; donc, si
,
lorsque
: ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction
en
par rapport à
, et la relation ![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a25cd56efc171f4de43806ee9c5136a5b2319cd)
- pour tout v réel tel que
,
; donc, si
,
lorsque
: ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction
en
par rapport à
, et la relation
.
- Théorème : une condition suffisante (non nécessaire) de
-différentiabilité en un point, ou sur un ouvert.
- Soit
. Si
admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à
et
) en tout point d'un voisinage de
, et si
,
(ou
,
) sont continues en
, alors
est
-différentiable en ![{\displaystyle z_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf)
- En particulier, si
admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à
et
) définies et continues en tout point de l'ouvert U, la fonction
est
-différentiable sur U. Dans ce cas, on dit que
est
-continûment différentiable sur U, ou de classe
sur U.
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