Fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2

En géostatistique, une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 (abrégée en FASt-2) est une fonction aléatoire Z sur un espace S telle que :

• sa moyenne est constante : E_x[Z(x)] = m
• sa covariance est invariante par translation, fonction du seul vecteur distance h entre les deux points : Cov[Z(x),Z(x+h)]=C(h)

Le processus est dit centré si sa moyenne est nulle en tout point

.

Les espérance et variance d'une combinaison linéaire s'expriment simplement : $\mathrm {E} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\mathrm {E} \left[Z\right]\sum _{i}\lambda _{i}$ $\mathrm {Var} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\sum _{i}\sum _{j}\lambda _{i}\lambda _{j}\mathrm {Cov} \left[Z_{i},Z_{j}\right]$

Propriétés

• La covariance de covariance stationnaire C doit être semi-définie positive :

$\forall m,a\in \mathbb {R} ^{m},z_{1}\cdots z_{m},\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}a_{i}a_{j}C\left(z_{i}-z_{j}\right)\geq 0$

• Usuellement, la covariance tend vers 0 à l'infini.
• En corollaire, la variance de Z est constante : Var[Z(x)] = C(0).
• On définit le corrélogramme ρ(h) = ^C(h)⁄_C(0), coefficient de corrélation entre Z(x) et Z(x+h).
• Une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 est également intrinsèque.
• ∀ h, C(h)≤C(0)
• La propriété est conservée par linéarité : soit A: ℝ^d→ℝ^d linéaire, le champ image Z^A=(Z_{A i,i ∈ S} est stationnaire de covariance C_A(x_i)=C(A x_i), et C_A est définie positive si C l'est et si A est de rang plein.
• Si C est continue à l'origine, elle est uniformément continue partout.
• Si C_i sont des covariances stationnaires, a_i ≥ 0, alors :
  • La somme finie ∑_iC_i (i ∈ ⟦1;n⟧) est une covariance stationnaire
  • Le produit fini ∏_iC_i (i ∈ ⟦1;n⟧) est une covariance stationnaire
  • La limite lim_i→∞C_i(h) est une covariance stationnaire si la limite existe pour tout h
• Si C_u, u∈U⊆ℝ^k sont des covariances stationnaires, μ une mesure positive sur ℝ^k telle que C_μ(h)=∫_U C_u(h) μ(du) existe pour tout h, alors C_μ est une covariance stationnaire.

Champ stationnaire au second ordre sur ℤ^d

Soit X un champ réel sur ℝ^d, centré et stationnaire au second ordre. On le suppose connu sur D_n = ⟦1 ; n⟧^d. Prenons la covariance empirique à une distance k ∈ ℤ^d : ${\hat {C}}_{n}\left(k\right)={\frac {1}{n^{d}}}\sum _{i,i+k\in D_{n}}X_{i}X_{i+k}$ Les effets de bords augmentent avec d : la proportion de points au bord de D_n est en ^d⁄_n. L'effet de bord est sans conséquence sur le biais asymptotique sur ℤ, il est significatif sur ℤ² et dominant sur ℤ^d, d ≥ 3. Pour éliminer ce biais et conserver une covariance empirique semi-définie positive, on procède au rabotage de données, par un rabot w : [0 ; 1]→[0 ; 1], C², croissant, w(0) = 0, w(1) = 1.

Voir aussi

• champ du second ordre (ou processus du second ordre), cas général où la moyenne est fonction du lieu.