Factorion

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Un factorion est un entier naturel qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres. Par exemple, 145 est un factorion en écriture décimale car 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

En écriture décimale, il n'y a que quatre factorions, ce sont 1, 2, 145 et 40585, soit suite A014080 de l'OEIS.

On peut démontrer qu'en base b, un factorion de n chiffres ne peut pas dépasser n\times (b-1)!. Un factorion est donc toujours compris entre bn-1 et n(b-1)!.

En base 10 par exemple, comme 107 est plus grand que 8× 9!, et que cette inégalité est vraie aussi pour tout n supérieur ou égal à 8, un factorion est toujours inférieur à 107.

Liste des factorions[modifier | modifier le code]

Ce tableau donne la liste des factorions pour différentes bases arithmétiques.

Base Nombre maximum de chiffres Factorions
2 2 1, 10
3 2 1, 2
4 3 1, 2, 13
5 3 1, 2, 144
6 4 1, 2, 41, 42
7 5 1, 2
8 5 1, 2
9 6 1, 2, 62 558
10 7 1, 2, 145, 40 585
11 8 1, 2, 24, 44, 28 453
12 8 1, 2
13 9 1, 2, 83790C5B
14 10 1, 2, 8B0DD409C
15 11 1, 2, 661, 662
16 11 1, 2, 260F3B66BF9

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans son livre Keys to Infinity, Clifford A. Pickover (Pickover, 1995) introduit les généralisations suivantes :

  • Les factorions du second type, qui sont les nombres égaux au produit des factorielles de leur chiffres.
  • Les factorions du troisième type, qui peuvent être compris à partir d'un exemple. Si on considère le factorion du troisième type abcdef, alors abcdef=(ab)!+c!+d!+(ef)!

Ces deux généralisations produisent un nombre beaucoup plus important de solutions et on ignore encore si leur nombre de solutions est fini.

En base 10, les deux factorions du deuxième type inférieurs à 10^{100} sont 1 et 2, car 1!=1 et 2!=2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • George D.Poole, Integers and the Sum of the Factorials of Their Digits, Mathematics Magazine, Vol.44, November 1971, pages 278-279
  • Martin Gadner, Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American, New York: Vintage, 1978, Chapter 4: Factorial Oddities.
  • Joseph S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, New York: Dover, 1979, p. 167.
  • Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, John Wiley & Sons, 1995, Chapter 22: The Loneliness of the Factorions.
  • Eric W. Weisstein, Factorion, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC 1999.