Exemples d'équations différentielles

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Cet article présente quelques exemples d'équations différentielles.

Les équations différentielles sont utilisées pour résoudre des problèmes en physique, en ingénierie et dans plusieurs autres sciences.

Une équation différentielle linéaire[modifier | modifier le code]

Les équations différentielles les plus simples sont les équations linéaires homogènes du premier ordre. Par exemple :

{dy \over dt} + f(t) y = 0

f est une fonction connue admettant des primitives. Nous pouvons résoudre cette équation en la réorganisant:

{d \over dt} \left( e^{F(t)} y \right) = 0

F(t) = \int f(t) dt\,. En l'intégrant on obtient

y = A     e^{-F(t)}\,

A est une constante arbitraire. (On peut vérifier que y est solution)

Une oscillation simple non amortie[modifier | modifier le code]

Prenons une masse reliée à un ressort. Il exerce sur celle-ci une force de rappel proportionnelle à l'extension ou la compression du ressort par rapport à sa longueur au repos. Nous négligeons les autres forces : gravité, frottement, etc. Nous pouvons alors décrire l'allongement du ressort à un temps t\, comme une fonction x(t)\,. Cette fonction vérifie alors l'équation différentielle suivante :

\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x\, où ω est un réel positif

Dont les solutions sont :

x(t) = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t)\,

Pour déterminer les constantes A\, et B\,, nous utilisons les conditions initiales qui permettent de décrire l'état du système à un instant donné (correspondant en général à t = 0\,).

Par exemple si nous supposons qu'à l'instant t = 0\, l'extension du ressort est d'une unité de longueur (x = 1\,), et la masse est immobile (dx/dt = 0\,). Nous pouvons en déduire

x(0) = A \cos 0 + B \sin 0 = A = 1\,,

d'où l'on déduit A = 1\,.

x'(0) = -\omega A \sin 0 + \omega B \cos 0 = \omega B = 0\,,

et donc B = 0\,.

En conséquence x(t) = \cos (\omega t)\, est solution de l'équation différentielle étudiée.

Plus souvent en physique pour les oscillations simples non amorties on utilise la solution de la forme:

x(t) = A \cos (\omega t + \phi),
 A étant l'amplitude et \phi la phase.

Pour l'exemple cité on procède:

x(0) = A \cos (\phi) = 1
x'(0) = -A \omega \sin (\phi) = 0

Ce qui donne  \phi = 0 et par conséquent A = 1

D'où le résultat x(t) = \cos (\omega t)

La solution la plus générale en fonction de conditions initiales quelconques  x_0~ et  \dot x_0 est donnée par l'équation :

 x(t) = x_0\cos{(\omega t)} + \dfrac{\dot x_0}{\omega} \sin{(\omega t)}

Prise en compte de l'amortissement[modifier | modifier le code]

Le modèle précédent négligeait les forces de frottement. De ce fait l'oscillation libre pouvait durer indéfiniment, ce qui n'est jamais observé en réalité.

Les frottements sont en général une force proportionnelle à la vitesse (dx/dt) et opposée au mouvement. En rajoutant ce terme notre équation différentielle devient :

\frac{d^2x}{dt^2} = - c \frac{dx}{dt} - \omega^2x\, c\, est le coefficient de frottement, avec c > 0\,.

Ceci est une équation différentielle linéaire à coefficients constants, homogène et du second ordre, que nous pouvons résoudre.

En cherchant une solution de la forme particulière A e^{kt}\,, nous constatons que k\, doit vérifier l'équation caractéristique suivante :

k^2 + c k + \omega^2 = 0\,.

Si c < 2 \omega\, nous avons deux racines complexes a \pm i b\,, et la solution (avec les conditions initiales identiques au cas précédent) a la forme suivante :

x(t) = e^{at} \left(\cos bt - \frac{a}{b} \sin bt \right) \,

(Nous pouvons démontrer que a < 0\,)

Le système étudié (le pendule pesant dans le référentiel terrestre supposé galiléen) est le siège d'oscillations libres amorties. Le centre d'inertie de la masse a une trajectoire que décrit la courbe suivante :

Oscillation amortie.png

(ce sont les positions du centre d'inertie de la masse, en fonction du temps, avec  x=0 correspondant à une position d'équilibre)

NB : la courbe présente une allure proche d'un régime critique : la position d'équilibre est à peine franchie, et on ne compte guère plus d'une pseudo-période d'oscillations.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]