Discussion utilisateur:Salle/Bibliographie mathématique

Je copie ici des sections que j'ai coupées dans ma réécriture des nombres premiers ; j'essaie d'indiquer pourquoi, et où rapatrier le matériel (que je ne souhaite pas voir disparaître). A l'usage d'Us, les commentaires sont encouragés) :

Nombres factoriels, primoriels, conjecture de Shanks

Je ne pense pas qu'il faille développer ces points dans la page générale ; dans une section conjecture, on mentionne les conjectures ; et on crée des pages nombre premier factoriel, etc., où on développe.

Nombres premiers et nombres factoriels

Un nombre entier $p\,$ est dit factoriel s'il est de la forme :

$p=n!\pm 1\,$ pour un certain entier $n\,$.

Il ne faut pas espérer en déduire pour autant que tout nombre de la forme $N!+1\,$ est premier, et le contre-exemple est vite trouvé. Pour $N=4\,$, on a $N!=24\,$ et le nombre 25, loin d'être premier, est le carré de 5 ; mais il n’est en effet divisible par aucun nombre inférieur ou égal à 4.

Les premiers nombres premiers factoriels sont :

$n!-1\,$ est premier pour $n=3,4,6,7,12,14,30,32,33,38,94,166...\,$

$n!+1\,$ est premier pour $n=1,2,3,11,13,27,37,41,73,77,116,154...\,$

Le plus grand nombre premier factoriel connu est ${34\,790}!-1\,$ [Marchal, Carmody, Kuosa, 2002].

On ignore s’il existe une infinité de nombres premiers factoriels.

Nombres premiers et nombres primoriels

Il ne faut pas non plus espérer pouvoir construire un nouveau nombre premier $P\,$ en effectuant le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à une certaine borne $q\,$ (primorielle) puis en lui ajoutant 1, c’est-à-dire en calculant :

$P=2\times 3\times 5\times ...\times q+1=\Pi \left(q\right)+1$,

où $\Pi \left(q\right)=\prod _{p_{i}<q}{p_{i}}$ représente le produit $2\times 3\times 5\times 7\times {11}\times ...\,$ de tous les nombres premiers $p_{i}\,$ inférieurs à $q\,$.

En effet ce procédé ne marche pas par exemple pour :

$\Pi \left({13}\right)=2\times 3\times 5\times 7\times {11}\times {13}+1={30\,031}={59}\times {509}$.

Un nombre p est dit primoriel s’il est de la forme :

$p=\Pi \left(n\right)\pm 1\,$ pour un certain nombre entier $n\,$,

Le plus grand nombre premier primoriel connu est $\Pi \left({392\,113}\right)+1\,$, trouvé par Daniel Heuer en 2001.

On ignore s’il existe une infinité de nombres premiers primoriels.

Suite de nombres premiers d’Euclide-Mullin

La démonstration d’Euclide introduit naturellement la suite dite d’Euclide-Mullin, définie de la façon suivante :

• $u_{1}=2\,$ et
• $u_{n+1}\,$ est le plus petit nombre premier diviseur de $\left(u_{1}\times u_{2}\times \cdots \times u_{n}\right)+1$.

Les premiers termes de cette suite sont :

2 ; 3 ; 7 ; 43 ; 13 ; 53 ; 5 ; 6 221 671 ; 38 709 183 810 571 ; 139 ; 2 801 ; 11 ; 17 ; etc.

On ne connaît que les 43 premiers termes de cette suite et on ignore si tous les nombres premiers y apparaissent. Shanks a conjecturé en 1991 que tel était le cas.

Formules explicites

Commentaires

J'ai coupé quielques remarques qui me semblent secondaires sur les polynômes, Matijasevic, etc. J'ai aussi coupé les trucs de Ruby et Fung, parce qu'ils ne sont pas mis en perspective, et que je n'ai pas trouvé la source. Il y a aussi tous les trucs basés sur Wilson, de congruences, etc. Encore une fois, ce n'est pas mis en perspective ; je le relèguerais donc dans formule concernant les nombres premiers (titre à affiner).

Texte

• Ce polynôme est d'une rare inefficacité, de sorte qu'à ce jour on n'a pu trouver avec lui que le nombre 2.

• D'autres polynômes existent, mais ne sont pas explicités. Le polynôme ayant le moins de variables actuellement défini est dû à Yuri Matijasevic, en 1977. Il possède 10 variables mais son degré est de l'ordre de 10⁴⁵ !

  Ces expressions ont donc un intérêt théorique (encore que très relatif) et non pratique.

• Aucun polynôme d'une seule variable ne peut générer tous les nombres premiers. Néanmoins, à titre de curiosité, certains polynômes en donnent en quantité. C'est le cas pour :
  • f(n) = n² − n + 41 (dû à Euler) qui donne des nombres premiers pour n allant de 0 à 40, mais f(41) est composé,
  • f(n) = 103n² − 3945n + 34381 (dû à R. Ruby) pour n allant de 0 à 42,
  • f(n) = 47n² − 1701n + 10181 (dû à G. Fung) pour n allant de 0 à 42,
  • f(n) = 36n² − 810n + 2753 (dû à R. Ruby) pour n allant de 0 à 44.

Autres fonctions basées sur le théorème de Wilson =

En utilisant la fonction partie entière, $\left\lfloor x\right\rfloor \,$ (la partie entière de $x\,$ est le plus grand entier inférieur au nombre réel $x\,$), nous pouvons construire plusieurs formules donnant le nème nombre premier.

Définissons, pour tout entier $m\,$, le nombre $\varpi \left(m\right)\,$ de nombres premiers inférieurs à $m\,$. On démontre :

$\varpi \left(m\right)=\sum _{j=2}^{m}{\frac {\sin ^{2}\left({\pi \over j}(j-1)!^{2}\right)}{\sin ^{2}\left({\pi \over j}\right)}}\,$

ou, de manière équivalente,

$\varpi \left(m\right)=\sum _{j=2}^{m}\left\lfloor {\left(j-1\right)!+1 \over j}-\left\lfloor {\left(j-1\right)! \over j}\right\rfloor \right\rfloor \,$

Le $n\,$-ième nombre premier $p_{n}\,$ peut être écrit sous la forme :

$p_{n}=1+\sum _{m=1}^{2^{n}}\left\lfloor \left\lfloor {n \over 1+\varpi \left(m\right)}\right\rfloor ^{1 \over n}\right\rfloor \,$

Equation basée sur la congruence

D'après R. Le Vavasseur (1903), si on désigne $P_{N}$ le produit des n premiers nombres premiers $P_{N}=p_{1}*p_{2}*...*p_{n}$. Par $Q_{h}$ l'un quelconque des nombres naturels compris entre [1,ph-1] avec h compris dans [1,n]. Si on prend un nombre $W_{hn}$ un nombre entier vérifiant la congruence $W_{hn}{\frac {P_{n}}{P_{h}}}\equiv 1\mod p_{h}$ la formule : $x\equiv {\frac {P_{N}}{p_{1}}}q_{1}W_{1n}+...+{\frac {P_{N}}{p_{n}}}q_{n}W_{nn}\mod P_{N}$ donnera sans omission uniquement tous les nombres premiers compris entre $p_{n}$ et $p_{(n+1)}^{2}$.

Fonction basée sur la partie entière

Une autre approche n'utilisant ni les factorielles, ni le théorème de Wilson, mais toujours aussi largement la fonction partie entière (S. M. Ruiz 2000). Définissons d'abord :

$G\left(k\right)=k-1+\sum _{j=2}^{k}\left\lfloor {2 \over j}\left(1+\sum _{s=1}^{\left\lfloor {\sqrt {j}}\right\rfloor }\left(\left\lfloor {j-1 \over s}\right\rfloor -\left\lfloor {j \over s}\right\rfloor \right)\right)\right\rfloor \,$

Nous avons alors :

$p_{n}=1+\sum _{k=1}^{2\left(\left\lfloor n\ln n\right\rfloor +1\right)}\left(1-\left\lfloor {G\left(k\right) \over n}\right\rfloor \right)\,$