Discussion:Théorème de Cochran

Preuve du résultat concernant l'estimateur non-biaisé de la variance

Cette preuve est incorrecte, car le vecteur $Y$ est bien gaussien centré, mais pour appliquer le théorème de Cochran, il faudrait que sa matrice de variance-covariance soit un multiple de la matrice identité, ce qui n'est pas le cas. En effet la somme des composantes de Y est nulle, et donc les composantes sont corrélées. --MistralGG (discuter) 19 septembre 2016 à 15:52 (CEST) --MistralGG (discuter) 7 octobre 2016 à 14:38 (CEST)

Bonjour, désolé de voir votre réponse aussi tardivement. Vous dites que la preuve serait fausse car la somme des composantes de $ Y $ s'annulent et pourtant : $\sum _{i=1}^{n}Y_{i}={\frac {1}{\sigma }}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}-n\mu \right).$

Mais $\mu $ n'est pas la moyenne empirique mais l'espérance (commune) des $ X_i $. --Mickael.alb (discuter) 9 octobre 2016 à 12:16 (CEST)

A Mickael.alb

Merci pour votre intervention et excusez moi du temps mis à répondre à votre discussion (notez que, étant un peu jeune sur wikipedia, je ne suis pas très sûr d'être au bon endroit pour vous répondre)

Mais regardez l'historique de plus près : le $Y$ que vous utilisez ci-dessus est celui que j'ai défini dans ma correction, pas celui qui était utilisé dans la version que j'ai qualifiée d'incorrecte (antérieure au 19 septembre 15h) et que je recopie ci-dessous

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Preuve : on applique le théorème de Cochran avec le sous-espace vectoriel $F=\mathrm {Vect} (1_{n})$ (où $1_{n}$ est le vecteur colonne de $\mathbb {R} ^{n}$ constitué uniquement de 1) de dimension 1 pour l'échantillon $Y={\frac {1}{\sigma }}(X_{1}-{\overline {X}}_{n},...,X_{n}-{\overline {X}}_{n})^{t}$ de loi normale réduite centrée.

• La matrice de projection sur $F$ est : $P_{F}=1_{n}(1_{n}^{t}1_{n})^{-1}1_{n}^{t}={\frac {1}{n}}1_{n}1_{n}^{t}$ et celle sur $F^{\perp }$ est par conséquence $P_{F^{\perp }}=\mathrm {Id} _{n}-P_{F}$.
• La projection de $Y$ sur $F$ est $P_{F}Y={\frac {1}{n}}1_{n}1_{n}^{t}Y=\left(\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})\right)1_{n}=0_{\mathbb {R} ^{n}}$ et celle sur $F^{\perp }$ est donc $P_{F^{\perp }}Y=Y$.

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Cette version semble d'ailleurs être précisément celle écrite à l'origine de l'article.

--MistralGG (discuter) 9 novembre 2016 à 15:09 (CET)

Oui effectivement, une erreur de ma part, merci de l'avoir corrigé/signalé.

--Mickael.alb (discuter) 9 novembre 2016 à 18:51 (CET)