Déterminant par blocs

En algèbre linéaire, la formule de déterminant par blocs généralise à la fois les formules de Laplace de calcul du déterminant d'une matrice carrée par développement selon une ligne ou une colonne ou le calcul du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

Formule[modifier | modifier le code]

Si $A$ est une matrice carrée de taille $n$ , on forme un procédé d'extraction de $k\leq n$ colonnes, noté $\varphi$ , c'est-à-dire une application strictement croissante de $[\![1,k]\!]$ dans $[\![1,n]\!]$ , et un procédé d'extraction de $k\leq n$ lignes, noté $\varphi '$ .

On note $D_{\varphi ,\varphi '}$ le déterminant de la matrice extraite de $A$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices $\varphi ([\![1,k]\!])$ et les lignes d'indices $\varphi '([\![1,k]\!])$ .

On note $D'_{\varphi ,\varphi '}$ le déterminant de la matrice extraite de $A$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices qui ne sont pas dans $\varphi ([\![1,k]\!])$ et les lignes d'indices qui ne sont pas dans $\varphi '([\![1,k]\!])$ .

On note $\Phi$ l'ensemble des applications strictement croissantes de $[\![1,k]\!]$ dans $[\![1,n]\!]$ et l'on fixe $\varphi \in \Phi$ .

On note $\varepsilon (\varphi )$ la signature de $\varphi$ , définie comme la signature de l'unique permutation de $[\![1,n]\!]$ prolongeant de $\varphi$ et dont la restriction à $[\![k+1,n]\!]$ est également croissante.

On obtient alors $\det A=\varepsilon (\varphi )\sum _{\varphi '\in \Phi }\varepsilon (\varphi ')D_{\varphi ,\varphi '}D'_{\varphi ,\varphi '}$ .

Cas particulier[modifier | modifier le code]

Si $n=4$ et $k=2$ , cette formule donne un déterminant 4×4 comme la somme de 6 produits de déterminants 2×2. En notant, comme pour les coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes,

$p_{i,j}$ le déterminant des lignes $i,j$ des deux premières colonnes et
$q_{i,j}$ le déterminant des lignes $i,j$ des deux dernières colonnes,

on obtient par exemple :

\det A=p_{1,2}q_{3,4}+p_{1,3}q_{4,2}+p_{1,4}q_{2,3}+q_{1,2}p_{3,4}+q_{1,3}p_{4,2}+q_{1,4}p_{2,3}

.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Richard Baltzer (trad. de l'allemand par Jules Hoüel), Théorie et applications des déterminants : avec l'indication des sources originales, Mallet-Bachelier, 1861 (lire en ligne), « Décomposition d'un déterminant en une somme de produits de déterminants partiels », p. 26-29
(la) C. G. J. Jacobi, « De formatione et proprietatibus Determinantium », J. reine angew. Math., vol. 22,‎ 1841, p. 285-318 (§ 8, p. 298-299),
traduit dans (de) C. G. J. Jacobi (éd. P. Stäckel), Ueber die Bildung und die Eigenschaften der Determinanten, Leipzig, Engelmann, 1896 (lire en ligne) (§ 8, p. 20-22)
Frédéric Rotella et Pierre Borne, Théorie et pratique du calcul matriciel, Technip, 1995 (lire en ligne), « Développement de Laplace », p. 53-54

Lien externe[modifier | modifier le code]

Gérard Eguether, « Calcul d'un déterminant par blocs », sur Institut Élie-Cartan de Lorraine

Portail de l’algèbre