Courbe paramétrique à sélectivité/influence variable

Ces courbes paramétriques à sélectivité variable sont inspirées des courbes de Bézier, mais ont la particularité d'être plus facilement modelable puisque l'on peut faire varier la pondération et le rayon d'influence de chaque point de contrôle.

Première formule et démonstration

Définition

Soit (P₀,... , P_n), n+1 points d'un plan ou d'un espace euclidien, on définie alors la courbe

${\mathcal {C}}$ = {${\textstyle \sum _{k=0}^{n}A_{k}^{n}(t)\cdot \mathbf {P} _{i}}$, t $\in \mathbb {R}$}, où $A_{k}^{n}(t)={\frac {e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}{\sum _{i=0}^{n}e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {i}{n}}\right)^{2}}}}$

Démonstration

On a $\forall t\in \mathbb {R} ,\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}{\sum _{i=0}^{n}e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {i}{n}}\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sum _{i=0}^{n}e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {i}{n}}\right)^{2}}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}=1$

et $\lim _{t\to \infty }{\mathcal {A_{0}^{n}(-t)}}=\lim _{t\to \infty }{\mathcal {A_{n}^{n}(t)}}=1$, donc la courbe a comme extrémités P_{0 et} P_n

Représentation des $A_{k}^{n}(t)$ pour 0$\leqslant$n$\leqslant$8

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Exemples

Courbe paramétrique à 5 points

courbe pour 5 points de contrôles

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Pondération et rayon d'influence des points

Variation des $c_{k}$ entre 0.05 et 1, tous égaux entre eux

Comme les courbes de Bézier rationnelles, ces courbes paramétrées peuvent être modifiées afin de pondérer chaque point différemment, on pose :

$(c_{k})_{0\leqslant k\leqslant n}$ le rayon d'action de chaque point

$(b_{k})_{0\leqslant k\leqslant n}$ le poids de chaque point.

Alors; ${\mathcal {A_{k}^{n}(t)}}={\frac {b_{k}e^{-\pi c_{i}\left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i}e^{-\pi c_{i}\left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}}$