Constantes de Landau

En analyse complexe, les constantes de Landau sont plusieurs constantes mathématiques décrivant le comportement de fonctions holomorphes définies sur le disque unité.

Définition

Soit $F$ l'ensemble des fonctions holomorphes $f$ sur le disque unité $D=\{z\in \mathbb {C} \mid \left|z\right|<1\}$ pour lesquelles :

$f'(0)=1$.

Pour une fonction $f$ donnée de cet ensemble, on définit :

• $L_{f}$, le rayon du plus grand disque contenu dans l'image de $D$ par $f$.
• $B_{f}$, le rayon du plus grand disque qui soit une image biholomorphe d'un sous-ensemble de $D$.

Les constantes de Landau $L$ et $B$ sont alors définies comme les bornes inférieures de l'ensemble des $L_{f}$ et $B_{f}$ pour tous les éléments de $F$.

On définit également la constante $A$ de la même façon que $B$ en ne considérant que les fonctions injectives de $F$.

Valeur approchée

Les valeurs exactes de $L$, $B$ et $A$ ne sont pas connues :

$0.4330+10^{-14}<B<0.472\,\!$

$0.5<L<0.544\,\!$

$0.5<A\leq 0.7853.$

Lien externe

• Landau Constant (MathWorld)