Constantes de Landau

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En analyse complexe, les constantes de Landau sont plusieurs constantes mathématiques décrivant le comportement de fonctions holomorphes définies sur le disque unité.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit F l'ensemble des fonctions holomorphes f sur le disque unité D= \{ z \in \mathbb C \mid \left| z \right| < 1 \} pour lesquelles :

f'(0) = 1.

Pour une fonction f donnée de cet ensemble, on définit :

  • L_f, le rayon du plus grand disque contenu dans l'image de D par f.
  • B_f, le rayon du plus grand disque qui soit une image biholomorphe d'un sous-ensemble de D.

Les constantes de Landau L et B sont alors définies comme les bornes inférieures de l'ensemble des L_f et B_f pour tous les éléments de F.

On définit également la constante A de la même façon que B en ne considérant que les fonctions injectives de F.

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

Les valeurs exactes de L, B et A ne sont pas connues :

0.4330 + 10^{-14} < B < 0.472 \,\!
0.5 < L < 0.544 \,\!
0.5 < A \le 0.7853.

Lien externe[modifier | modifier le code]