Animation illustrant la complétion du carré. La méthode de complétion du carré , en mathématiques , est un procédé algébrique permettant de réécrire une équation du second degré de la forme
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
forme canonique
a
(
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
−
4
a
c
4
a
2
)
=
0
{\displaystyle a{\biggl (}(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}{\biggr )}=0}
factoriser le polynôme
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
carré sous forme d'identité remarquable , puis par exemple d’en extraire la racine carrée .
L'idée générale de cette technique consiste, partant d'une équation de la forme A+B=C , à la mettre sous la forme A+B+D=C+D , où D est choisi pour que A+B+D soit le développement d'une identité remarquable telle que
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
A+B sous la forme A+B+D-D). Ainsi, lorsqu'on a une équation de la forme
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle x^{2}+bx+c=0}
(
b
2
)
2
−
c
{\displaystyle \left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}
x
2
+
b
x
+
(
b
2
)
2
=
(
x
+
b
2
)
2
{\displaystyle x^{2}+bx+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}
x
2
+
b
x
+
(
b
2
)
2
=
(
b
2
)
2
−
c
{\displaystyle x^{2}+bx+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}
d'où
[
x
+
(
b
2
)
]
2
=
(
b
2
)
2
−
c
{\displaystyle \left[x+\left({\frac {b}{2}}\right)\right]^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}
et donc
x
=
−
b
2
±
(
b
2
)
2
−
c
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}}}
radicande soit positif).
Exemple Soit
x
2
−
6
x
+
5
=
0
{\displaystyle x^{2}-6x+5=0}
(
−
6
/
2
)
2
−
5
=
9
−
5
{\displaystyle (-6/2)^{2}-5=9-5}
On obtient
x
2
−
6
x
+
5
+
9
−
5
=
9
−
5
{\displaystyle x^{2}-6x+5+9-5=9-5}
qui se simplifie en
x
2
−
6
x
+
9
=
4
{\displaystyle x^{2}-6x+9=4}
puis en
(
x
−
3
)
2
=
4
{\displaystyle (x-3)^{2}=4}
et enfin
x
−
3
=
±
4
=
±
2
{\displaystyle x-3=\pm {\sqrt {4}}=\pm 2}
D'où les solutions de l'équation,
x
1
=
1
{\displaystyle x_{1}=1}
x
2
=
5
{\displaystyle x_{2}=5}
On peut appliquer cette méthode à une équation de la forme
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
≠
0.
{\displaystyle a\neq 0.}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
⇔
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
,
{\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,}
a
≠
0.
{\displaystyle a\neq 0.}
En appliquant à cette équation la méthode ci-dessus, on obtient la forme canonique
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
−
4
a
c
4
a
2
)
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a{\biggl (}(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}{\biggr )}=0}
on retrouve alors la formule de Viète (en supposant le radicande positif) :
x
=
−
b
2
a
±
(
b
2
a
)
2
−
c
a
,
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},}
ou sous une forme plus habituelle, avec le discriminant du polynôme :
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
Si le discriminant est positif, on obtient la factorisation canonique :
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).}
La même idée peut s’appliquer à d’autres expressions algébriques ; elle permet par exemple de transformer une équation cartésienne comme
x
2
+
y
2
+
2
x
−
4
y
=
4
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+2x-4y=4}
x
2
+
2
x
+
1
+
y
2
−
4
y
+
4
=
9
,
{\displaystyle x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4=9,}
(
x
+
1
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
9
{\displaystyle (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9}
équation d'un cercle de centre (-1, 2) et de rayon 3.
On peut également obtenir de même l’identité de Sophie Germain :
x
4
+
4
y
4
=
(
x
4
+
4
x
2
y
2
+
4
y
4
)
−
4
x
2
y
2
=
(
x
2
+
2
y
2
)
2
−
(
2
x
y
)
2
=
(
x
2
−
2
x
y
+
2
y
2
)
(
x
2
+
2
x
y
+
2
y
2
)
.
{\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4})-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=(x^{2}-2xy+2y^{2})(x^{2}+2xy+2y^{2}).}
La complétion du carré est également utile pour le calcul de certaines intégrales . Ainsi, pour une intégrale de la forme
I
=
∫
d
x
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+bx+c}}}
I
=
∫
d
x
x
2
+
b
x
+
b
2
/
4
−
b
2
/
4
+
c
=
∫
d
x
(
x
+
b
/
2
)
2
−
b
2
/
4
+
c
{\displaystyle I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+bx+b^{2}/4-b^{2}/4+c}}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x+b/2)^{2}-b^{2}/4+c}}}
on peut revenir, en posant
X
=
x
+
b
/
2
{\displaystyle X=x+b/2}
∫
d
X
X
2
+
k
2
=
1
k
arctan
(
X
k
)
+
C
ou
∫
d
X
X
2
−
k
2
=
1
2
k
ln
|
X
−
k
X
+
k
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dX}{X^{2}+k^{2}}}={\frac {1}{k}}\arctan \left({\frac {X}{k}}\right)+C\qquad {\text{ou}}\qquad \int {\frac {dX}{X^{2}-k^{2}}}={\frac {1}{2k}}\ln \left|{\frac {X-k}{X+k}}\right|+C}
![{\displaystyle \left[x+\left({\frac {b}{2}}\right)\right]^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6cca24661ebd882105a197136671e5ab2af2df)
