Complétion du carré

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Animation illustrant la complétion du carré.

La méthode de complétion du carré, en mathématiques, est un procédé algébrique permettant de réécrire une équation polynomiale du second degré de sa forme classique vers sa forme canonique.

Elle sert à résoudre une équation du second degré de la forme x2 + bx + c = 0 ou à factoriser une telle fonction. L'idée est de trouver un carré sous forme d'identité remarquable, dont on peut extraire la racine carrée.

Méthode[modifier | modifier le code]

Lorsqu'on a une équation de la forme on ajoute respectivement de chaque côté de l'équation. Ce qui donne

,

d'où

et donc .

Exemple

Soit l'équation à résoudre. On ajoute de chaque côté.

On obtient ,

qui se simplifie en ,

puis en

et enfin .

D'où les solutions 1 et 5.

Généralisation[modifier | modifier le code]

On peut appliquer cette méthode à une équation de la forme , où

car

En appliquant à cette équation la méthode ci-dessus, on retrouve alors la formule de Viète :

ou sous une forme plus habituelle, avec le discriminant du polynôme :

Autres applications[modifier | modifier le code]

La complétion du carré peut être utilisée en calcul intégral. Pour une intégrale de la forme

on peut revenir à des formes dont on peut les primitives à partir des fonctions usuelles :