Voir la source de Coefficient de Poisson

{{Voir homonymes|Poisson (homonymie)}}
[[File:Poissons Ratio animation.gif|thumb|Animation de la déformation de quatre objets cubiques, avec différents coefficients de Poisson, sous contrainte uni-axiale.|alt=animation de quatre cubes qui se déforment. Coefficients de Poisson à 0,2, 0,4, 0 et -0,4.]]
En [[mécanique des milieux continus]], le '''coefficient de Poisson''' ou '''coefficient principal de Poisson''', noté {{math|''ν''}}, est une [[Tenseur des constantes élastiques|constante élastique]] [[Grandeur sans dimension|adimensionnelle]] mesurant la déformation d'un matériau solide perpendiculairement à la direction de l'effort appliqué. Il est égal à l'[[Opposé (mathématiques)|opposé]] du ratio entre la déformation transversale et la déformation axiale, mesurées dans le cas idéal lorsque la contrainte est uniquement non nulle dans une direction. Sa valeur est strictement comprise entre {{Formatnum|−1}} et {{Formatnum|0,5}}, et est le plus souvent positive (> 0). Les (rares) matériaux ayant un coefficient de Poisson négatif sont dits [[Auxétisme|auxétiques]]. Le coefficient de Poisson peut s'interpréter comme une mesure de la tendance du matériau à conserver son volume : plus il s'approche de {{Formatnum|0,5}}, plus le matériau devient incompressible. Du point de vue [[acoustique]], il se traduit dans la vitesse de propagation des ondes : dans un matériau dont le coefficient de Poisson est élevée, les [[Onde de cisaillement|ondes de cisaillement]] se propagent très lentement par rapport aux [[Onde de compression|ondes de compression]].

Il tire son nom de [[Siméon Denis Poisson]], qui le met en évidence et adopte la [[Nu (lettre grecque)|lettre grecque « nu »]], notée {{math|''ν''}}, dans une note qu'il [[Publication scientifique|publie]] en [[1827]]. Le coefficient de Poisson est souvent associé au [[module de Young]] : les deux valeurs suffisent à elles deux à décrire entièrement le comportement élastique linéaire d'un [[Isotropie|matériau isotrope]], c'est-à-dire dont ses propriétés sont indépendantes de son orientation.

== Définition ==

=== Définition intuitive ===

Considérons un barreau constitué du matériau que l'on souhaite caractériser. Une compression est appliquée dans la longueur du barreau, ce qui réduit sa longueur. La valeur relative de ce changement de longueur est appelée déformation longitudinale. Par exemple, si la pression appliquée telle que la longueur du barreau est réduite de {{Formatnum|1 %}}, la déformation longitudinale vaut {{Formatnum|-0,01}}. Une déformation transverse, c'est-à-dire dans la direction perpendiculaire à la pression appliquée, est aussi observée ; c'est l'effet de Poisson. Pour n'importe quel matériau considéré [[Homogénéité (matériau)|homogène]], [[Isotropie#Résistance des matériaux|isotrope]] et [[Déformation élastique|élastique linéaire]], le barreau va se dilater dans le sens transverse s'il est comprimé dans la longueur, et inversement. Le coefficient de Poisson est le rapport de déformation entre la contrainte appliquée et l'état initial. Ainsi, quand le barreau voit sa longueur réduite de 1 %, si son diamètre (ou sa largeur, selon la forme de l'échantillon) augmente de {{Nombre|0,3 %}}, le coefficient de Poisson de ce matériau vaut {{Formatnum|0,3}}. Cette définition suppose que les valeurs appliquées sont assez faibles pour que la réponse du matériau reste linéaire<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Pierre-Alain Boucard|titre=Cours de Dimensionnement des Structures - Résistance des Matériaux|pages totales=96|lire en ligne=https://www.chireux.fr/mp/cours/R%E9sistance%20des%20Mat%E9riaux.pdf|format électronique=pdf}}</ref>.

=== Définition plus formelle ===

{{article connexe|Contrainte (mécanique)|Déformation élastique}}
Le matériau est soumis à une [[Contrainte (mécanique)|contrainte]] unidirectionnelle : c'est-à-dire que sa valeur est non-nulle sur une seule direction, choisie ici, arbitrairement, selon l'axe <math>x</math> du référentiel. Les contraintes selon <math>y</math> et <math>z</math> sont nulles, de même que les [[Contrainte de cisaillement|contraintes en cisaillement]]. En outre, la valeur <math>T_x</math> (la contrainte est notée, selon les auteurs, <math>T</math> ou <math>\sigma</math>) reste assez faible pour que le matériau réponde de façon linéaire<ref name=WalterFrey/>.

<math>T_x \ne 0</math>

<math>T_y = T_z = T_{xy} = T_{xz} = T_{yz} = 0</math>

La déformation principale du matériau est celle selon <math>x</math>, notée <math>S_x</math>. Il existe cependant aussi une déformation selon les axes <math>y</math> et <math>z</math>. Le coefficient de Poisson se définit en les comparant<ref name=WalterFrey>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=François|nom1=Frey|titre=Analyse des structures et milieux continus : mécanique des structures|éditeur=PPUR presses polytechniques|date=2000|isbn=978-2-88074-434-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=bH7xH-ZFT-YC&newbks=0&hl=fr|consulté le=2024-02-14}}</ref> :

<math>\nu_{zx} = - \frac{S_z}{S_x}</math>

<math>\nu_{yx} = - \frac{S_y}{S_x}</math>

Pour la grande majorité des matériaux, la déformation en <math>y</math> et <math>z</math> est de signe opposée à la déformation en <math>x</math>. Cela explique la présence du signe moins dans la définition, rendant le coefficient de Poisson positif<ref name=WalterFrey/>. Dans le cas le plus général, le coefficient de Poisson dépend de la direction de l'allongement. Ainsi, en contraignant le matériau selon l'axe <math>y</math> au lieu de <math>x</math>, on aurait défini des coefficients <math>\nu_{zy}</math> et <math>\nu_{xy}</math>. Cependant, en régime linéaire, le coefficient de Poisson est toujours symétrique, c'est-à-dire par exemple que <math>\nu_{xy}=\nu_{yx}</math>. Il y a donc, pour un matériau anisotrope sans propriétés particulières, trois coefficients indépendants<ref>{{Article|langue=en|prénom1=S. G.|nom1=Lekhnitskii|prénom2=P.|nom2=Fern|prénom3=Julius J.|nom3=Brandstatter|prénom4=E. H.|nom4=Dill|titre=Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body|périodique=Physics Today|volume=17|numéro=1|pages=84–84|date=1964-01-01|issn=0031-9228|issn2=1945-0699|doi=10.1063/1.3051394|lire en ligne=https://pubs.aip.org/physicstoday/article/17/1/84/1040468/Theory-of-Elasticity-of-an-Anisotropic-Elastic|consulté le=2024-03-09}}</ref>.

Si le matériau est [[isotropie|isotrope]], le coefficient de Poisson est (comme toutes les propriétés du matériau) indépendant du référentiel de la direction choisie, il est alors simplement noté <math>\nu</math><ref name=Gros>{{Article|prénom1=Xavier E.|nom1=Gros|prénom2=Kiyoshi|nom2=Takahashi|titre=Monitoring Delamination Growth In Cfrp Materials Using Eddy Currents|périodique=Nondestructive Testing and Evaluation|volume=15|numéro=2|pages=65–82|date=1998-09|issn=1058-9759|issn2=1477-2671|doi=10.1080/10589759908952865|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.1080/10589759908952865|consulté le=2024-03-09}}</ref>.

=== Attribution et notation ===

[[File:E. Marcellot Siméon-Denis Poisson 1804.jpg|thumb|right|Siméon Denis Poisson|alt=portrait noir et blanc d'un homme assis, habillé style "Empire".]]
Les années 1820 sont une période très active en matière de mécanique des solides. [[Henri Navier|Navier]], [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], [[George Gabriel Stokes|Stokes]] et [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] cherchent dans cette période à construire un cadre mathématique expliquant les déformations d'un solide. Dans une note publiée en 1827, puis un important ''Traité de mécanique'' en 1833, Poisson introduit le coefficient qu'il note avec la [[Alphabet grec|lettre grecque]] {{math|''ν''}}, notation toujours utilisée. Poisson travaille alors sur une {{citation|théorie de l'élasticité moléculaire}}, expliquant l'élasticité d'un solide par l'articulation de liaisons moléculaires. C'est une des théories à l'origine de la [[mécanique des solides déformables]] moderne. En 1848, Guillaume Wertheim réalise les premières déterminations expérimentales de coefficients de Poisson, sur des matériaux comme le [[laiton]] et le [[verre]]<ref>{{Article|langue=en|prénom1=G. Neville|nom1=Greaves|titre=Poisson's ratio over two centuries: challenging hypotheses|périodique=Notes and Records: the Royal Society Journal of the History of Science|volume=67|numéro=1|pages=37–58|date=2013-03-20|issn=0035-9149|issn2=1743-0178|pmid=24687094|pmcid=PMC3645204|doi=10.1098/rsnr.2012.0021|lire en ligne=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsnr.2012.0021|consulté le=2024-02-15}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|prénom1=André|nom1=International Union of Crystallography|titre=Early days of X-ray crystallography|éditeur=Oxford University Press ; International Union of Crystallography|date=2013|p=21|isbn=978-0-19-965984-5|oclc=841671923|lire en ligne=https://www.worldcat.org/title/841671923|consulté le=2024-03-20}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=en |prénom=Brian |nom=Quigley |titre=Library Guides: Siméon-Denis Poisson: Mathematics in the Service of Science: Home |url=https://guides.lib.berkeley.edu/c.php?g=157266&p=1030350 |site=guides.lib.berkeley.edu |consulté le=2024-03-20}}</ref>.

== Relations avec les autres expressions de l'élasticité, pour un matériau isotrope ==

Dans le domaine linéaire, le comportement élastique d'un matériau isotrope est entièrement décrit par seulement deux paramètres indépendants. Il existe plusieurs choix de paramètres, selon le problème à résoudre, des formules permettant les conversions. Un choix habituel est l'association du coefficient de Poisson et du [[module de Young]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Thomas|nom1=Fiedler|titre=Numerical and Experimental Investigation of Hollow Sphere Structures in Sandwich Panels|éditeur=Trans Tech Publications Ltd|date=2008-06-21|isbn=978-3-03813-238-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=zUuxDwAAQBAJ&newbks=0&hl=fr|consulté le=2024-02-24}}</ref>.

=== Changement de volume ===

Lorsqu'un matériau isotrope est soumis, en régime linéaire, à une contrainte uni-axiale (placée ici, arbitrairement, selon l'axe x), le coefficient de Poisson intervient dans le calcul du changement de volume<ref name=ikai>{{Ouvrage|prénom1=Atsushi|nom1=Ikai|chapitre=2.4.3|prénom2=Rehana|nom2=Africa institute of South Africa|titre=The world of nano-biomechanics: mechanical imaging and measurement by atomic force microscopy|éditeur=Elsevier|date=2008|isbn=978-0-444-63686-7|consulté le=2024-02-24}}</ref>

La déformation selon l'axe x est notée <math>\epsilon_x</math>. Les déformations selon les axes y et z sont égales et valent <math>-\nu\epsilon_x</math><ref name=ikai/>.

En notant <math>V_0</math> le volume initial de l'objet, le volume déformé vaut :

<math>V_1 = V_0 \times (1+\epsilon_x) \times (1-\nu\epsilon_x) \times (1-\nu\epsilon_x)</math>

En [[Développement (mathématiques)|développant]] le produit, et en ne retenant que les [[Équivalent|termes du premier ordre]] (puisque la déformation est très petite devant 1), la variation de volume s'écrit : 

<math>\frac{V_1}{V_0} = 1 + \epsilon_x \times (1-2\nu)</math>

Cela signifie qu'au plus le coefficient de Poisson est proche de {{Formatnum|0,5}}, au plus le matériau tend à conserver son volume lorsqu'il est déformé<ref name=ikai/>.

=== Autres jeux de coefficients ===

Le [[module d'élasticité isostatique]] ou module de compressibilité (<math>K</math>) exprime la réduction du volume du matériau lorsqu'il est soumis à une [[pression]] isostatique (par exemple, en l'immergeant en profondeur). Il est lié au [[module de Young]] (<math>E</math>) par le coefficient de Poisson (<math>\nu</math>) au travers de la relation<ref name="roches">{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Pierre Bérest|auteur2=Daniel Billaux|auteur3=Marc Boulon|auteur4=François Cornet|auteur5=Christian David|auteur6=Pierre Duffaut|auteur7=Jean-Louis Durville|auteur8=Sylvie Gentier|auteur9=Albert Giraud|auteur10=Mehdi Gohreychi|et al.=oui|auteur institutionnel=Comité français de mécanique des roches|préface=Pierre Bérest|photographe=Pierre Duffaut|titre=Manuel de mécanique des roches|volume=1|titre volume=Fondements|éditeur=Presses des Mines|date=mai 2000|pages totales=265|passage=85|isbn=978-2-911762-23-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=ots5TU1ZxHsC&newbks=0&hl=fr|consulté le=2024-02-24}}</ref> :
:<math>K=\frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}</math>

On note les valeurs particulières de ν :
* pour ν = {{Formatnum|1/3}}, on a ''K = E''.
* pour ν → {{Formatnum|0,5}}, on a ''K'' → ∞ : [[Compressibilité|incompressibilité]] (cas du [[Caoutchouc (matériau)|caoutchouc]], par exemple).

Cette relation explique aussi pourquoi il est impossible que le coefficient de Poisson d'un matériau isotrope dépasse {{Formatnum|0,5}}. Si c'était le cas, son module de compressibilité deviendrait négatif. Cela signifie que le matériau se dilaterait sous l'effet d'une pression externe. Ce faisant, il fournirait un [[Travail d'une force|travail]] au milieu environnant, produisant de l'énergie. Ce serait en contradiction avec le [[premier principe de la thermodynamique]]<ref name=Tichi>{{Ouvrage|page=49|prénom1=Jan|nom1=Tichì|titre=Fundamentals of piezoelectric sensorics: mechanical, dielectric, and thermodynamical properties of piezoelectric materials|éditeur=Springer|date=2010|isbn=978-3-540-68427-5|consulté le=2024-02-24}}</ref>.

Le [[module de cisaillement]] <math>G</math> exprime la déformation du matériau soumis à un effort uniquement en cisaillement. Son expression en fonction de E et <math>\nu</math> est la suivante<ref name=roches/> : 
<math display="block">G = \dfrac{E}{2(1+\nu)}.</math>

Par un raisonnement analogue au précédent, cette relation explique que le coefficient de Poisson ne peut pas être inférieur à {{Formatnum|-1}}. En effet, le module de cisaillement deviendrait négatif, et le matériau fournirait alors un travail lors d'une sollicitation en cisaillement<ref name=Tichi/>.

=== Tenseur d'élasticité ===

La [[loi de Hooke]] dans un matériau quelconque exprime une relation linéaire entre le [[tenseur des contraintes]] et le [[tenseur des déformations]] (chacun comprenant six termes, trois de compression et trois de cisaillement) :

<math>T = c \epsilon</math> ou <math>\epsilon = sT</math>

La matrice des rigidités ''c'', et son inverse ''s'' (matrice des souplesses) sont des [[Matrice (mathématiques)|matrices]] <math>6 \times 6</math> [[Matrice symétrique|symétriques]], il y a donc, dans le cas le plus général, {{Nombre|21 paramètres}} indépendants. Selon les propriétés du matériau (symétries, etc), certains termes des matrices sont nuls, égaux, ou interdépendants. Dans le cas d'un matériau isotrope, ces matrices sont entièrement déterminées par seulement deux paramètres, comme E et <math>\nu</math><ref>{{Article|langue=ru|prénom1=G.L.|nom1=Belen'kii|prénom2=E.Yu.|nom2=Salaev|prénom3=R.A.|nom3=Suleimanov|titre=Deformation effects in layer crystals|périodique=Uspekhi Fizicheskih Nauk|volume=155|numéro=5|pages=89–127|date=1988|issn=0042-1294|issn2=1996-6652|doi=10.3367/UFNr.0155.198805c.0089|lire en ligne=http://ufn.ru/ru/articles/1988/5/c/|consulté le=2024-02-24}}</ref>.

<math>c = \frac{E}{(1 + \nu )(1- 2 \nu)} \begin{pmatrix} 1 - \nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0  \\ \nu  & 1 - \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\  \nu  & \nu & 1 - \nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - 2 \nu & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - 2 \nu & 0    \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 1 - 2 \nu \end{pmatrix}  </math>

<math>s = c^{-1} = \frac{1}{E} \begin{pmatrix} 1 & - \nu & - \nu & 0 & 0 & 0  \\ - \nu  & 1 & - \nu & 0 & 0 & 0 \\  - \nu  & - \nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 + \nu & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 + \nu & 0    \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 1 + \nu \end{pmatrix}  </math>


== Cas d'un matériau anisotrope ==

=== Tenseurs d'élasticité ===

Dans le cas d'un matériau [[orthotropie|orthotrope]], c'est-à-dire possédant trois plans de symétrie orthogonaux entre eux, et selon un référentiel choisi pour correspondre à ces plans, le tenseur des souplesses s'écrit comme suit en fonction des trois modules de Young et des trois coefficients de Poisson<ref name=Lekh>{{Ouvrage |nom=Lekhnitskii, S. G. |année=1981 |titre=Theory of elasticity of an anisotropic elastic body |page=36 |url=https://archive.org/details/lekhnitskii-theory-of-elasticity-of-an-anisotropic-body-mir-1981/page/36/mode/2up |éditeur=Mir Publishing}}</ref> :

<math>s = c^{-1}
  = \begin{bmatrix}
    \tfrac{1}{E_x} & - \tfrac{\nu_{yx}}{E_y} & - \tfrac{\nu_{zx}}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{xy}}{E_x} & \tfrac{1}{E_y} & - \tfrac{\nu_{zy}}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{xz}}{E_x} & - \tfrac{\nu_{yz}}{E_y} & \tfrac{1}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{yz}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{zx}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{xy}} \\
    \end{bmatrix}
</math>

Si le matériau possède une [[isotropie transverse]], condition plus restrictive que l'orthotropie, qui implique des propriétés isotropes dans un plan donné (par exemple le plan <math>xy</math>, le nombre de propriétés élastiques indépendantes tombe à {{Formatnum|5}}, dont deux coefficients de Poisson : l'un concernant les déformations dans le plan <math>xy</math>, l'autre pour les déformations normales à ce plan. Le tenseur des souplesses s'écrit<ref>{{Lien web |titre=Hooke's Law for Transversely Isotropic Materials |url=https://www.efunda.com/FORMULAE/solid_mechanics/mat_mechanics/hooke_iso_transverse.cfm |site=www.efunda.com |consulté le=2024-03-09}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Joe|nom1=Dellinger|titre=Computing the optimal transversely isotropic approximation of a general elastic tensor|périodique=GEOPHYSICS|volume=70|numéro=5|pages=I1–I10|date=2005-09|issn=0016-8033|issn2=1942-2156|doi=10.1190/1.2073890|lire en ligne=https://library.seg.org/doi/10.1190/1.2073890|consulté le=2024-03-09}}</ref> :

<math>
s = c^{-1}
  = \begin{bmatrix}
    \tfrac{1}{E_p} & - \tfrac{\nu_{p}}{E_p} & - \tfrac{\nu_{pz}}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{p}}{E_p} & \tfrac{1}{E_p} & - \tfrac{\nu_{pz}}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{pz}}{E_p} & - \tfrac{\nu_{pz}}{E_y} & \tfrac{1}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{xz}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{xz}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{2(1+\nu_p)}{E_p} \\
    \end{bmatrix}
</math>

=== Module de compressibilité ===

A partir du tenseur d’élasticité, on détermine le module de compressibilité en posant <math>T_x = T_y = T_z</math>, et en additionnant les déformation sur les trois axes cela donne la relation suivante<ref>{{Ouvrage|prénom1=Richard E.|p=181|nom1=Goodman|titre=Introduction to rock mechanics|éditeur=Wiley|date=1989|isbn=978-0-471-81200-5|consulté le=2024-03-17}}</ref> :

<math>\frac{1}{K} = \frac{1-\nu_{xy}-\nu_{xz}}{E_x} + \frac{1-\nu_{xy}-\nu_{yz}}{E_y} + \frac{1-\nu_{xz}-\nu_{yz}}{E_z}</math>

== Méthodes de mesure ==

=== Mesure directe ===
[[File:Eprouvette traction force elongation.svg|thumb|left|Illustration d'un test de traction sur un barreau mince.]]
Le coefficient de Poisson peut être calculé à partir de l'allongement longitudinal et du rétrécissement transversal, mesurés directement. Les appareils destinés à la mesure du coefficient de Poisson fonctionnent en contraignant un échantillon (typiquement cylindrique). Un [[Jauge de déformation|extensomètre]] mesure la déformation longitudinale, tandis que la déformation transverse est généralement mesurée par une méthode optique<ref>{{Lien web |langue=en |titre=How Measurement of Poisson’s Ratio Works |url=https://www.labmanager.com/the-measurement-of-poisson-s-ratio-18234 |site=Lab Manager |consulté le=2024-03-09}}</ref>.

=== Mesure acoustique ===

Pour les matériaux très rigides, il peut être plus commode de mesurer la [[Propagation des ondes|vitesse de propagation]] des [[ondes P]] et des [[ondes S]] et d'en déduire le coefficient de Poisson, grâce à la relation suivante. Cette méthode est utilisée en laboratoire, sur des échantillons, mais aussi pour l'étude du sol, par [[imagerie sismique]]<ref>{{Article|prénom1=J.|nom1=Kumar|titre=The Effect of Poisson's Ratio on Rock Properties|éditeur=SPE|date=1976-10-03|périodique=onepetro|doi=10.2118/6094-MS|lire en ligne=https://onepetro.org/SPEATCE/proceedings/76SPE/All-76SPE/New%20Orleans,%20Louisiana/138840|consulté le=2024-02-15}}</ref> :
:<math>\nu=\frac12\left[1-\frac1{\left(\frac{V_\mathrm P}{V_\mathrm S}\right)^2-1}\right]</math>.

== Valeurs typiques ==
Dans la plupart des cas, le coefficient de Poisson est compris entre {{Formatnum|0,25}} et {{Formatnum|0,35}}<ref name="TI">{{Lien web |langue=fr |titre=Constantes mécaniques - Coefficients d’élasticité |auteur=Bernard Le Neindre |date=10 décembre 1991 |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/introduction-aux-constantes-physico-chimiques-42342210/constantes-mecaniques-k486/module-de-young-module-de-rigidite-et-coefficient-de-poisson-k486forniv10001.html |site=[[Techniques de l'ingénieur]] |consulté le=30 septembre 2023}}</ref>.

=== Cas limites ===

Un coefficient de Poisson égal à {{Formatnum|0,5}} signifie que le matériau est [[Compressibilité|incompressible]] : ce cas limite correspond au comportement d'un liquide. Les [[Élastomère|matériaux élastomères]], dont le comportement se rapproche des liquides, ont des valeurs très proches de {{Formatnum|0,5}}, valeur que la thermodynamique interdit de dépasser<ref name="Bolj">{{Ouvrage|prénom1=Vukota|nom1=Boljanovic|titre=Sheet metal forming processes and die design|éditeur=Industrial Press|page=16|date=2004|isbn=978-0-8311-3182-1|consulté le=2024-01-29}}</ref>. Quel que soit le matériau, lorsque la température croît, le coefficient de Poisson augmente ; {{math|''ν''}} vaut {{Formatnum|0,5}} à la [[point de fusion|température de fusion]]<ref name="TI"/>.

=== Corps simples et métaux purs ===
La plupart des [[corps simple]]s à l'[[état solide]] ont un coefficient de Poisson compris entre {{Formatnum|0,2}} et {{Formatnum|0,4}}. Sur {{Formatnum|64}} de ces corps simples<ref name=Shaocheng2018>{{Bibliographie|Q107746832}}</ref>, six seulement ont un coefficient supérieur à {{Formatnum|0,4}} ([[silicium|Si]] : {{Formatnum|0,422}} ; [[or|Au]] : {{Formatnum|0,424}} ; [[plomb|Pb]] : {{Formatnum|0,442}} ; [[molybdène|Mo]] : {{Formatnum|0,458}} ; [[césium|Cs]] : {{Formatnum|0,460}} ; [[thallium|Tl]] : {{Formatnum|0,468}}), et quatre un coefficient inférieur à {{Formatnum|0,2}} ([[ruthénium|Ru]] : {{Formatnum|0,188}} ; [[europium|Eu]] : {{Formatnum|0,139}} ; [[béryllium|Be]] : {{Formatnum|0,121}} ; [[uranium|U]] : {{Formatnum|0,095}}) ; aucun n'est [[auxétisme|auxétique]].

{| class="wikitable"
|+ Métaux purs<ref>{{Lien web |titre=Poisson's Ratios Metals |url=https://www.engineeringtoolbox.com/metals-poissons-ratio-d_1268.html |site=www.engineeringtoolbox.com |consulté le=2024-03-08}}</ref>
! Matériau
! {{math|''ν''}}
|-
| [[Aluminium]] (Al)
| {{Formatnum|0,33}}
|-
| [[Béryllium]] (Be)
| {{Formatnum|0,024}} à {{Formatnum|0,03}}
|-
| [[Bore]] (B)
| {{Formatnum|0,21}}
|-
| [[Cuivre]] (Cu)
| {{Formatnum|0,36}}
|-
| [[Fer]] (Fe)
| {{Formatnum|0,21}} – {{Formatnum|0,259}}
|-
| [[Magnésium]] (Mg)
| {{Formatnum|0,35}}
|-
| [[Or]] (Au)
| {{Formatnum|0,42}}
|-
| [[Plomb]] (Pb)
| {{Formatnum|0,40}} à {{Formatnum|0,45}}
|-
| [[Titane]] (Ti)
| {{Formatnum|0,3}}
|}

=== Alliages métalliques ===
La valeur typique du coefficient de Poisson est de l'ordre de {{Formatnum|0,28}} pour les aciers, et de {{Formatnum|0,33}} pour les alliages d'aluminium<ref name="BB">{{Lien web |langue=en |titre=Young's modulus |auteur=[[Encyclopædia Britannica]] |consulté le=30 septembre 2023 |url=https://www.britannica.com/science/Youngs-modulus}}</ref>.

{| class="wikitable"
|+ Alliages
! Matériau
! {{math|''ν''}}
|-
| [[Acier]] de construction
| {{Formatnum|0,27}} – {{Formatnum|0,30}}
|-
| [[Acier inoxydable]]
| {{Formatnum|0,30}} – {{Formatnum|0,31}}
|-
| [[Fonte (métallurgie)|Fontes]]
| {{Formatnum|0,21}} – {{Formatnum|0,26}}
|-
| [[Laiton]]
| {{Formatnum|0,37}}
|}

=== Polymères ===

{| class="wikitable"
|+ [[Polymère]]s
! Matériau
! {{math|''ν''}}
|-
|[[Polyépoxyde|Époxy]]
| {{Formatnum|0,35}} – {{Formatnum|0,42}}<ref>{{Lien web |titre=Overview of materials for Epoxy Cure Resin |url=https://www.matweb.com/search/datasheet_print.aspx?matguid=956da5edc80f4c62a72c15ca2b923494 |site=www.matweb.com |consulté le=2024-03-09}}</ref>
|-
|[[Polychlorure de vinyle|PVC]]
|{{Formatnum|0,38}}<ref name=sonelastic>{{Lien web |titre=Polymers elastic modulus and Poisson ratio {{!}} Sonelastic® |url=https://www.sonelastic.com/en/fundamentals/tables-of-materials-properties/polymers.html |site=www.sonelastic.com |consulté le=2024-03-09}}</ref>
|-
|[[Nylon]]
|{{Formatnum|0,39}}<ref name=sonelastic/>
|-
|[[Polycarbonate]]
|{{Formatnum|0,36}}<ref name=sonelastic/>
|}

=== Oxydes ===
Sur {{Nombre|160 oxydes}} testés en 2018<ref name=Shaocheng2018/>, un seul est [[auxétisme|auxétique]] dans les [[Conditions normales de température et de pression#Conditions ambiantes de température et de pression|conditions ambiantes]], la [[cristobalite]] α<ref group=alpha>La [[cristobalite]] α est un [[polymorphisme (chimie)|polymorphe]] [[métastabilité|métastable]] du [[dioxyde de silicium]] Si{{O2}}.</ref> ({{math|1=''ν'' =}} {{Formatnum|−0,164}}<ref>{{article| langue=en| auteur1=A. Yeganeh-Haeri| auteur2=D. J. Weidner| auteur3=J. B. Parise| date=31 juillet 1992| titre=Elasticity of α-cristobalite: A silicon dioxide with a negative Poisson’s ratio| périodique=Science| lien périodique=Science (revue)| volume=257| numéro=5070| pages=650-652| doi=10.1126/science.257.5070.650}}.</ref>), et le reste de {{Formatnum|20}} à {{tmp|1500|°C}}.

Pour {{Nombre|97,4 %}} des oxydes, le coefficient de Poisson est compris entre {{Formatnum|0,150}} et {{Formatnum|0,400}} ([[moyenne]] : {{Formatnum|0,256}} ; [[écart type]] : {{Formatnum|0,050}}). D'une manière générale, le coefficient de Poisson est [[corrélation (statistiques)|corrélé]] positivement avec la [[masse volumique]] : <math>\nu\approx0{,}0285\,\rho-0{,}1227</math> (en excluant la cristobalite et le quartz) mais le [[coefficient de détermination]] {{math|''r''{{2}}}} n'est pas très élevé : {{Formatnum|0,28}}{{Refnec|date=10 mars 2024}}. La corrélation est meilleure en ne considérant que les oxydes cristallisant dans un même [[système cristallin|système réticulaire]] :
{| class="wikitable sortable" style="text-align:center;"
|+ Coefficient de Poisson des oxydes<ref name=Shaocheng2018/>
|-
! Système<ref group="grec">L'unique oxyde [[Système cristallin monoclinique|monoclinique]] étudié a un coefficient de Poisson égal à {{Formatnum|2,271}}.</ref>|| {{math|''n''}}<ref group=grec>{{math|''n''}} : nombre d'oxydes pris en compte dans la régression linéaire.</ref> || Équation de corrélation || {{math|''r''{{2}}}}
|-
| [[système cristallin hexagonal|hexagonal]] || 8 || <math>\nu\approx0{,}0506\,\rho+0{,}067</math> || {{Formatnum|0,99}}
|-
| [[système cristallin trigonal|trigonal]] || 24 || <math>\nu\approx0{,}0852\,\rho-0{,}1267</math> || {{Formatnum|0,83}}
|-
| [[système cristallin cubique|cubique]] || 70 || <math>\nu\approx0{,}0852\,\rho-0{,}1267</math> || {{Formatnum|0,46}}
|-
| [[système cristallin tétragonal|tétragonal]] || 19 || <math>\nu\approx0{,}0525\,\rho-0{,}0264</math> || {{Formatnum|0,36}}
|-
| [[système cristallin orthorhombique|orthorhombique]] || 33 || <math>\nu\approx0{,}0129\,\rho+0{,}1873</math> || {{Formatnum|0,27}}
|}
{{références| groupe=grec}}

=== Silicates ===
Le coefficient de Poisson des {{Nombre|301 [[silicate]]s}} testés en 2018 ({{Nombre|9 [[cyclosilicate]]s}}, {{Nombre|43 [[inosilicate]]s}}, {{Nombre|219 [[nésosilicate]]s}}, {{Nombre|5 [[phyllosilicate]]s}} et {{Nombre|25 [[tectosilicate]]s}})<ref name=Shaocheng2018/> varie entre {{Formatnum|0,080}} pour le [[quartz (minéral)|quartz]]<ref group=alpha>Le [[quartz (minéral)|quartz]] n'est pas à proprement parler un silicate (c'est un [[oxyde]]), mais il est classé parmi les [[tectosilicate]]s dans les différentes [[classification des minéraux|classifications de minéraux]].</ref> et {{Formatnum|0,365}} pour le [[zircon]]. Si l'on excepte ces deux extrêmes, {{math|''ν''}} varie entre {{Formatnum|0,200}} et {{Formatnum|0,350}} (moyenne : {{Formatnum|0,261}} ; écart-type : {{Formatnum|0,030}}){{Refnec|date=10 mars 2024}}.

=== Autres matériaux ===
Le coefficient de Poisson des [[carbonate]]s, des [[halogénure]]s, des [[phosphate]]s, des [[sulfate]]s et des [[sulfure]]s s'étage entre 0,091 et 0,379 :
{| class="wikitable sortable" style="text-align:center;"
|+ Coefficient de Poisson de différents composés chimiques<ref name=Shaocheng2018/>
|-
! Composés || {{math|''n''}} || Intervalle de valeurs || Moyenne || Écart type
|-
| Carbonates || 12 || 0,178-0,319 || 0,288 || 0,041
|-
| Halogénures || 10 || 0,133-0,310 || 0,258 || 0,048
|-
| Phosphates || 8 || 0,1091-0,316 || 0,243 || 0,083
|-
| Sulfates || 8 || 0,191-0,379 || 0,305 || 0,057
|-
| Sulfures || 10 || 0,160-0,376 || 0,290 || 0,086
|}

== Exemples d'applications ==

=== Bouchons de liège ===

[[Fichier:Penfolds cork and bottle top.jpg|vignette|Un bouchon en liège.|alt=Photo en couleurs en gros plan du goulot d'une bouteille de vin et de son bouchon en liège.]]
Les [[Bouchon de bouteille|bouchons]] des [[Bouteille de vin|bouteilles de vin]] sont un exemple d'application du coefficient de Poisson : le [[Liège (matériau)|liège]] a un coefficient de Poisson très proche de zéro, ce qui en fait un très bon choix pour un bouchon : lorsqu'on l'enfonce dans la bouteille, il ne se dilate pas dans la direction transverse, chose qui rendrait l'insertion bien plus difficile. Ainsi, lorsqu'on recherche un matériau alternatif au liège pour cette application, il doit aussi avoir un coefficient de Poisson très faible<ref>{{Article|prénom1=J.|nom1=Saint-Blancard|prénom2=P.-C.|nom2=Thiercelin|prénom3=C.|nom3=Raby|prénom4=R. Theilleux|titre=Contrôle physique, physico-chimique, chimique et biologique des récipients en matière plastique et des bouchons dans la pratique transfusionnelle|périodique=Transfusion|volume=7|numéro=1|pages=43–51|date=1964|issn=0372-1248|doi=10.1016/s0372-1248(64)80042-4|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.1016/s0372-1248(64)80042-4|consulté le=2024-01-29}}</ref>.

=== Imagerie médicale ===

Les [[Tissu biologique|tissus biologiques]] ont un comportement mécanique qui se représente bien comme un milieu isotrope et pratiquement incompressible (<math>\nu</math> très proche de {{Formatnum|0,5}}, [[module de Young]] très faible). L'[[élastographie]] est une discipline scientifique qui regroupe plusieurs méthodes de mesure des propriétés mécaniques des tissus par [[Échographie|imagerie ultrasonore]]. Mesurer ''in situ'' le coefficient de Poisson des tissus a des applications en matière de diagnostic, par exemple, des [[Cancer|tumeurs cancéreuses]]<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Md Tauhidul|nom1=Islam|prénom2=Songyuan|nom2=Tang|prénom3=Chiara|nom3=Liverani|prénom4=Sajib|nom4=Saha|titre=Non-invasive imaging of Young’s modulus and Poisson’s ratio in cancers in vivo|périodique=Scientific Reports|volume=10|numéro=1|pages=7266|date=2020-04-29|issn=2045-2322|doi=10.1038/s41598-020-64162-6|lire en ligne=https://www.nature.com/articles/s41598-020-64162-6|consulté le=2024-03-08}}</ref>.

=== En sciences de la Terre ===

Le coefficient de Poisson des couches intérieures de la terre est évalué en comparant la vitesse de propagation des ondes sismiques longitudinales et transverses, c'est un moyen d'investigation important de leur composition<ref>{{Article|langue=en|prénom1=J.P.|nom1=Poirier|titre=On Poisson's ratio and composition of the Earth's lower mantle|périodique=Physics of the Earth and Planetary Interiors|volume=46|numéro=4|pages=357–368|date=1987-07|doi=10.1016/0031-9201(87)90090-2|lire en ligne=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0031920187900902|consulté le=2024-03-09}}</ref>.

== Extension en grandes déformations : fonction de Poisson ==

[[File:Rod diameter change poisson.svg|thumb|right|Exemple de relation entre le changement de longueur et de diamètre d'un barreau. Le coefficient de Poisson est la pente de la [[Tangente (géométrie)|tangente]] en zéro.|alt=représentation grand déplacement.]]
Lorsque les déformations sont importantes, la réponse du matériau n'est plus linéaire, et le rapport entre la déformation axiale et la déformation transverse n'est plus constant. Une fonction de Poisson est alors définie<ref group="alpha">Sans rapport avec la [[Loi de Poisson|distribution de Poisson]] en statistiques.</ref> selon l'étirement (en grands déplacements, il est usuel d'utiliser l'étirement <math>\lambda = 1+\epsilon</math> plutôt que la déformation <math>\epsilon</math>. Il existe plusieurs définitions de cette fonction. Chacune admet, comme limite pour <math>\lambda \rightarrow 1</math>, la définition usuelle du coefficient de Poisson<ref>{{Article|langue=en|prénom1=L. Angela|nom1=Mihai|prénom2=Alain|nom2=Goriely|titre=How to characterize a nonlinear elastic material? A review on nonlinear constitutive parameters in isotropic finite elasticity|périodique=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=473|numéro=2207|pages=20170607|date=2017-11|issn=1364-5021|issn2=1471-2946|pmid=29225507|pmcid=PMC5719638|doi=10.1098/rspa.2017.0607|lire en ligne=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2017.0607|consulté le=2024-02-24}}</ref> :

Définition de {{Lien|trad=Heinrich Hencky|fr=Heinrich Hencky|texte=Hencky}} : <math>\nu^H = -\frac{\ln \lambda_\text{trans}}{\ln \lambda_\text{axial}} </math>

Définition de [[Maurice Anthony Biot|Biot]] : <math>\nu^B =  \frac{1 - \lambda_\text{trans}}{\lambda_\text{axial} - 1} </math>

Définition de [[George Green|Green]] : <math>\nu^G =  \frac{1 - \lambda_\text{trans}^2}{\lambda_\text{axial}^2 - 1} </math>

Définition de [[Emilio Almansi|Almansi]] : <math>\nu^A =  \frac{\lambda_\text{trans}^{-2} - 1}{1 - \lambda_\text{axial}^{-2}}</math>

== Généralisation dans le cas d'un stratifié ==
[[File:An exploded view of a GLARE hybrid sheet.jpg|thumb|right|Un exemple de composite stratifié : le [[GLARE]].|alt=schéma d'un composite formé de couches d'aluminium et de couche de verre-epoxy]]
En [[théorie des plaques]], un [[stratifié]] est une plaque composée de plusieurs couches de matériaux différents. La théorie classique des stratifiés est un modèle prédictif du comportement des déformations d'une telle plaque composite<ref>{{Chapitre|prénom1=Victor|nom1=Giurgiutiu|titre chapitre=Chapter 3 - Classical lamination theory|titre ouvrage=Stress, Vibration, and Wave Analysis in Aerospace Composites|éditeur=Academic Press|date=2022-01-01|pages totales=111–277|isbn=978-0-12-813308-8|doi=10.1016/b978-0-12-813308-8.00011-9|lire en ligne=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128133088000119|consulté le=2024-02-23}}</ref>.

Dans le cadre de la théorie de Kirchoff-Love (qui suppose notamment l'absence de cisaillement transverse), la rigidité de la plaque en flexion et torsion s'exprime sous la forme d'une matrice {{Nobr|3 x 3}}. Les [[Moment d'une force|moments]] fléchissants <math>M_x</math>, <math>M_y</math> et <math>M_{xy}</math> sont reliés aux courbures par<ref name=Abbas>{{Article|langue=en|prénom1=Mohamad Abbas|nom1=Kaddaha|prénom2=Rafic|nom2=Younes|prénom3=Pascal|nom3=Lafon|titre=Homogenization Method to Calculate the Stiffness Matrix of Laminated Composites|périodique=Eng|volume=2|numéro=4|pages=416–434|date=2021-09-24|issn=2673-4117|doi=10.3390/eng2040026|lire en ligne=https://www.mdpi.com/2673-4117/2/4/26|consulté le=2024-02-23}}</ref> :

<math>\begin{pmatrix} M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} D_{11} & D_{12} & D_{13} \\ D_{21} & D_{22} & D_{23} \\ D_{31} & D_{32} & D_{33} \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 w^0}{\partial x_2^2} \\ \frac{\partial^2 w^0}{\partial y_2^2} \\ \frac{\partial^2 w^0}{\partial x \partial y}\end{pmatrix}</math>

Où <math>w^0</math> est le déplacement transverse, mesuré le long de la [[fibre neutre]] de la plaque. <math>\frac{\partial^2 w^0}{\partial x^2}</math> est la flexion selon la direction x, <math>\frac{\partial^2 w^0}{\partial y^2}</math>, la flexion en y, et <math>\frac{\partial^2 w^0}{\partial x \partial y}</math> la [[torsion]]<ref name=Abbas/>.

Si le stratifié est [[Isotropie transverse|isotrope dans le plan]], l'écriture se simplifie. Il est possible de représenter le comportement de l'ensemble du stratifié par une rigidité flexionnelle D et un coefficient de Poisson homogénéisé <math>\nu</math><ref name=Abbas/>.

<math>\begin{pmatrix} M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{pmatrix} = D \begin{pmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 w^0}{\partial x_2^2} \\ \frac{\partial^2 w^0}{\partial y_2^2} \\ \frac{\partial^2 w^0}{\partial x \partial 2}  \end{pmatrix}</math>

C'est une définition sensiblement différente de celle donnée précédemment, car le coefficient de Poisson ainsi défini n'est plus une propriété locale (microscopique) du matériau, il est homogénéisé à l'échelle du stratifié, vu comme un milieu 2D. Si la même équation est écrite concernant une plaque homogène, c'est-à-dire constituée d'un seul matériau, et que ce matériau est isotrope, c'est bien le coefficient de Poisson de ce matériau qui intervient. Quant à D, sa valeur est alors la suivante (selon E le module de Young et h l'épaisseur de la plaque)<ref>{{Ouvrage|prénom1=Christian|nom1=Mittelstedt|titre=Theory of plates and shells|éditeur=Springer Vieweg|date=2023|isbn=978-3-662-66805-4|isbn2=978-3-662-66804-7|isbn3=978-3-662-66807-8|consulté le=2024-02-23|chapitre=7}}</ref> :

<math>D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}</math>

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Auxétisme]]
* [[Siméon Denis Poisson]]

{{Palette|Modules élastiques}}
{{Portail|physique|matériaux}}

[[Catégorie:Élasticité]]
[[Catégorie:Grandeur physique]]
[[Catégorie:Grandeur sans dimension]]