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Théorème (Bonnet, 1935) — Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive , alors son diamètre est borné par :
En particulier, est compacte.
Démonstrations
Raisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec . Soit une géodésique d'origine et d'extrémité . Prenons un vecteur dans , orthogonal à . Introduisons le champ de vecteurs parallèle le long de d'origine . Posons :
Un calcul élémentaire donne :
Soit une variation de courbes d'origine et d'extrémité avec et . La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs , donne alors :
Ceci est absurde lorsque est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne.
Sous les notations précédentes, si le diamètre de est égal à , alors est isométrique à la sphère euclidienne de rayon .
Myers a amélioré en 1941 le théorème de Bonnet en démontrant le même résultat sous l'hypothèse plus faible que la courbure de Ricci est minorée par , où est la dimension de la variété.
Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant :