Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
La relation de Schrödinger-Robertson est une généralisation de l'inégalité de Heisenberg formalisée dès 1930 par Howard Percy Robertson , puis complétée par Erwin Schrödinger .
Énoncé Soient deux observables A B opérateurs hermitiens
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
B
^
{\displaystyle {\hat {B}}}
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
écarts types Δ A Δ B
Δ
A
⋅
Δ
B
≥
1
4
|
⟨
[
A
^
,
B
^
]
⟩
ψ
|
2
+
1
4
|
⟨
{
A
^
−
⟨
A
^
⟩
ψ
,
B
^
−
⟨
B
^
⟩
ψ
}
⟩
ψ
|
2
{\displaystyle \Delta {A}\cdot \Delta {B}\geq {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|^{2}+{1 \over 4}\left|\left\langle \left\{{\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi },{\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle _{\psi }\right\}\right\rangle _{\psi }\right|^{2}}}}
où :
⟨
⟩
ψ
{\displaystyle \langle \,\rangle _{\psi }}
moyenne sur l'état
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
[
A
^
,
B
^
]
=
A
^
B
^
−
B
^
A
^
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}
commutateur de
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
B
^
{\displaystyle {\hat {B}}}
{
A
^
,
B
^
}
=
A
^
B
^
+
B
^
A
^
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
B
^
{\displaystyle {\hat {B}}}
Applications La relation de Schrödinger-Robertson fournit une équation d'incertitude pour tout couple d'observables ne commutant pas, notamment :
La position et le moment d'une particule :
Δ
x
i
Δ
p
i
≥
ℏ
2
{\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}
L'énergie et la position d'une particule dans un potentiel unidimensionnel
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
Δ
E
Δ
x
≥
ℏ
2
m
|
⟨
p
x
⟩
|
{\displaystyle \Delta E\Delta x\geq {\hbar \over 2m}\left|\left\langle p_{x}\right\rangle \right|}
Δ
N
Δ
ϕ
≥
1
{\displaystyle \Delta N\Delta \phi \geq 1}
Références
↑ K. K. Likharev, A. B. Zorin, « Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions », J. Low Temp. Phys. , Vol. 59, pp. 347–382, 1985.
↑ P. W. Anderson, « Special Effects in Superconductivity , Lectures on the Many-Body Problem Academic Press .
Voir aussi 
![{\displaystyle \Delta {A}\cdot \Delta {B}\geq {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|^{2}+{1 \over 4}\left|\left\langle \left\{{\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi },{\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle _{\psi }\right\}\right\rangle _{\psi }\right|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd606550be1893fe8498c59c6dd86c88029a3d0)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57394bd8df1218ed4fe4be88716d657ed3aee846)
