Points cocycliques

En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.

Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.

Quatre points cocycliques

Propriété — Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts du plan. Alors $A$, $B$, $C$, $D$ sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés

$\left({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}}\right)=\left({\overrightarrow {DA}},{\overrightarrow {DB}}\right)\mod \pi .$

La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.

Si $a,b,c,d$ sont les affixes respectives de $A,B,C,D$, la condition précédente s'écrit aussi

$\arg \left({\frac {c-b}{c-a}}\right)=\arg \left({\frac {d-b}{d-a}}\right)\mod \pi$

D'où en utilisant le birapport, la condition équivalente :

$[a,b,c,d]=\left({\frac {c-b}{c-a}}\right):\left({\frac {d-b}{d-a}}\right)$ réel

Le théorème de Ptolémée donne une condition nécessaire et suffisante de cocyclicité de quatre points par leurs distances.

Théorème — Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :

$AB.CD\pm AC.DB\pm AD.BC=0$.

L'énoncé donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit -.