Théorème de Ptolémée

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Figure du théorème de Ptolémée.

Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne est une relation algébrique entre les longueurs des côtés et des diagonales d'un quadrilatère, équivalente à l'inscriptibilité du quadrilatère (dans un cercle). L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Claude Ptolémée, qui s'en servit pour ses calculs liés à l'astronomie.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

Ce théorème peut être traduit par :

Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si

Démonstration[modifier | modifier le code]

L'équivalence[modifier | modifier le code]

Le théorème de Ptolémée est une conséquence directe du cas d'égalité dans l'Inégalité de Ptolémée, dont la démonstration utilise que quatre points , , et sont cocycliques (dans cet ordre) si et seulement si une inversion centrée en un de ces points envoie les trois autres sur trois points alignés (dans cet ordre).

L'implication directe par raisonnement géométrique[modifier | modifier le code]

Ptolemy's theorem.svg

Soit un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles et sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même .

Construisons le point K tel que et .

On a alors .

Ainsi, les triangles et sont semblables (figure du milieu), de même que et (figure de droite).

On obtient les relations suivantes (voir « Triangles semblables ») : et

d'où et

en additionnant il vient et par construction .

On en déduit l'égalité du théorème : .

Second théorème de Ptolémée[modifier | modifier le code]

Second théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère inscriptible non croisé , les longueurs des côtés et des diagonales vérifient la relation :

En effet, l'aire d'un triangle ABC inscrit dans un cercle de rayon R étant donnée par

En écrivant l'aire totale du quadrilatère comme somme des deux triangles ayant même cercle circonscrit, on obtient selon la diagonale choisie :

En égalant, le produit en croix donne bien la relation annoncée.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Une démonstration du théorème et de sa réciproque sur le site « Descartes et les Mathématiques »