Théorème de Ptolémée

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Figure du théorème de Ptolémée.

Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne est une relation algébrique entre les longueurs des côtés et des diagonales d'un quadrilatère, équivalente à l'inscriptibilité du quadrilatère (dans un cercle). L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Claude Ptolémée, dont il se servit pour ses calculs liés à l'astronomie.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

Ce théorème peut être traduit par :

Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si

Démonstration de l'implication directe[modifier | modifier le code]

Par raisonnement géométrique[modifier | modifier le code]

Ptolemy's theorem.svg

Soit un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles et sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même .

Construisons le point K tel que et .

On a alors .

Ainsi, les triangles et sont semblables (figure du milieu), de même que et (figure de droite).

On obtient les relations suivantes (voir « Triangles semblables ») : et

d'où et

en additionnant il vient et par construction .

On en déduit l'égalité du théorème : .

Démonstration de la réciproque[modifier | modifier le code]

(1) Nous admettrons que l'antécédent d'une droite par l'inversion de pôle A et de rapport k non nul telle que A n'appartient pas à est un cercle passant par A, privé de A.

Soient A, B, C et D quatre points distincts tels que

Considérons l'inversion de pôle A et de rapport 1, qui transforme B en B', C en C' et D en D'.

Il vient : , de même et .

En divisant notre première égalité par , on obtient :

Soit encore :

Ainsi les points B', C' et D' sont alignés. D'après (1) : B, C et D appartiennent à un cercle passant par A. Le quadrilatère est donc inscriptible.

Lemme[modifier | modifier le code]

Second théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère inscriptible non croisé , les longueurs des côtés et des diagonales vérifient la relation :

En effet, l'aire d'un triangle ABC inscrit dans un cercle de rayon R étant donnée par

En écrivant l'aire totale du quadrilatère comme somme des deux triangles ayant même cercle circonscrit, on obtient selon la diagonale choisie :

En égalant, le produit en croix donne bien la relation annoncée.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Une démonstration du théorème et de sa réciproque sur le site « Descartes et les Mathématiques »