Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique

La nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique $g_{\alpha \beta }$ d'une variété riemannienne exprime le fait que la même mesure est appliquée en tout point de la variété. En termes mathématiques, elle s'exprime sous la forme : $g_{\alpha \beta ;\gamma }=0$ où $g_{\alpha \beta ;\gamma }$ représente les composantes de la dérivée du tenseur. Cette propriété peut se démontrer de deux façons :

• par un raisonnement mathématique, en posant explicitement le calcul avec les coefficients de Christoffel ;

Démonstration

Soit $(e_{\alpha })$ une base locale et $g_{\alpha \beta }=g(e_{\alpha },e_{\beta })$ le tenseur métrique exprimé dans cette base. Par définition de la dérivée covariante, on a pour tout $\alpha$,$\beta$ et $\gamma$ :

$\partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }=\partial _{\gamma }g(e_{\alpha },e_{\beta })=g(\nabla _{e_{\gamma }}e_{\alpha },e_{\beta })+g(e_{\alpha },\nabla _{e_{\gamma }}e_{\beta })$

donc, par définition des symboles de Christoffel :

$\partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }=g(\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }e_{\lambda },e_{\beta })+g(e_{\alpha },\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }e_{\lambda })=\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g(e_{\lambda },e_{\beta })+\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g(e_{\alpha },e_{\lambda })=\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g_{\lambda \beta }+\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g_{\alpha \lambda }$

ou encore :

$\partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }-\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g_{\lambda \beta }-\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g_{\alpha \lambda }=0$

Mais l'expression ci-dessus est précisément celle de $g_{\alpha \beta ;\gamma }$, dérivée covariante du tenseur g.

• par un raisonnement physique, dans le cadre de la relativité générale.

Détail du raisonnement physique : le principe d'équivalence stipule qu'il est toujours possible de trouver un référentiel lorentzien local où les dérivées premières de la métrique sont nulles, c'est-à-dire : $g_{\alpha \beta ,\gamma }=0$. Or, les coefficients de Christoffel ne dépendent que des dérivées premières de la métrique, on a donc : $\Gamma _{\alpha \beta \gamma }=0$ et $g_{\alpha \beta ;\gamma }=0$.

Cette relation tensorielle étant vraie dans tout référentiel lorentzien local, d'après le principe d'équivalence, elle l'est également dans un référentiel quelconque.