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En géométrie, l'inégalité triangulaire est le fait que, dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette inégalité est relativement intuitive. Dans la vie ordinaire, comme dans la géométrie euclidienne, cela se traduit par le fait que la ligne droite est le plus court chemin : le plus court chemin d'un point A à un point B est d'y aller tout droit, sans passer par un troisième point C qui ne serait pas sur la ligne droite.
De façon plus abstraite, cette inégalité correspond au fait que la distance directe est une valeur minimale de distance. Elle est aussi une propriété ou condition nécessaire à la définition d'une bonne distance. Cette distance est un choix possible en métrique mathématique, mais pas forcément le meilleur, suivant les cas et les usages.
Énoncés
En géométrie
Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et CB vérifient les trois inégalités suivantes :
;
;
.
Réciproquement, étant données trois longueurs dont chacune (ou, ce qui suffit : la plus grande) est inférieure à la somme des deux autres, il existe un triangle ayant ces longueurs de côté.
Une propriété se déduit de ces inégalités :
Cette dernière inégalité entraîne que dans un triangle, la longueur d'un côté est supérieure à la différence des longueurs des deux autres. Ce qui apparaît donc comme une propriété relative à la topologie du triangle.
Une autre les complète :
.
Pour les nombres complexes
En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter
(Si est le plan euclidien, identifié au plan complexe muni du produit scalaire ⟨u, v⟩ = Re(uv) — dont la norme associée est le module — l'inégalité de Cauchy-Schwarz utilisée ici est, de même que le cas d'égalité ci-dessous, une propriété élémentaire des nombres complexes.)