Déterminant de Cauchy

En algèbre linéaire, le déterminant de Cauchy est un calcul classique de déterminant, qui peut être relié à des problèmes de fractions rationnelles. Son nom est un hommage au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Le déterminant de Cauchy est un déterminant de taille n et de terme général ${\frac {1}{a_{i}+b_{j}}}$, où les complexes a₁, ..., a_n et b₁,...,b_n sont tels que pour tous i et j, a_i+b_j est non nul

$D_{n}={\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n}}}\\{\frac {1}{a_{2}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{2}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{2}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {1}{a_{n}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}\end{vmatrix}}$

Lien avec un problème d'interpolation

On recherche une fraction rationnelle ayant exactement n pôles simples, qui sont les a_i, et prenant des valeurs fixées en n points distincts des a_i (ce sont les opposés des b_j).

Si on cherche la fraction rationnelle sous la forme

$F(X)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {r_{i}}{X-a_{i}}}$

alors les coefficients inconnus r_i sont solutions d'un système de taille n, dont le déterminant est un déterminant de Cauchy.

Calcul du déterminant de Cauchy

$D_{n}={\frac {\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})\prod \limits _{i<j}(b_{j}-b_{i})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}\,$