Théorème de Mahler

Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler.

En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée :

$(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)\,$.

On note $\Delta$ l'opérateur de différence défini par

$(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,$.

Alors nous avons

$\Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}\,$

c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur $\Delta$ et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est $x^{n}$.

Énoncé — Si $f$ est une fonction continue à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques, alors

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\Delta ^{k}f)(0)}{k!}}(x)_{k}\,$.

Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson), on a seulement besoin de la continuité.

Si $f$ est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mahler's theorem » (voir la liste des auteurs).