Constante de Niven

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, la constante deNiven, d'après Ivan Niven, est la moyenne du plus grand exposant apparaissant dans la factorisation en facteurs premiers d'un entier n. Plus précisément, on définit H(1) = 1 et $H(n)=\max _{p|n}v_{p}(n)$ le plus grand exposant dans l'unique décomposition en facteurs premiers de n > 1, alors la constante de Niven est définie par

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{\zeta (k)}}\right)=1.705211\dots$

où ζ(k) est la fonction zeta de Riemann au point k.

Niven a montré dans le même papier que

$\sum _{j=1}^{n}h(j)=n+c{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}})$

où h(1) = 1, h(n) le plus grand exposant dans l'unique décomposition en facteurs premiers de n > 1, et la constante c est donnée par

$c={\frac {\zeta ({\frac {3}{2}})}{\zeta (3)}},$

par conséquent

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Niven's constant » (voir la liste des auteurs).

Lecture complémentaire

• Steven R. Finch, Mathematical Constants (Encyclopedia of Mathematics and its Applications), Cambridge University Press, 2003

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Constante de Niven », sur MathWorld
• suite A033150 de l'OEIS, développement décimale de la constante de Niven