Relation d'Amoroso-Robinson

La relation Amoroso–Robinson, tenant son nom des économistes Luigi Amoroso et Joan Robinson, décrit la relation entre prix, revenu marginal, et élasticité de la demande

$R_{m}=p.\left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right)$

où

• $R_{m}$ est le revenu marginal,
• $x$ est une quantité de bien,
• $p$ est le prix de ce bien,
• $\varepsilon _{x,p}$ est l' élasticité prix de la demande.

Démonstration

On note $p(x_{i})$ le prix d'un bien et $x_{i}$ la quantité de ce bien. On remarque que n'étant pas en condition de concurrence pure et parfaite, le prix n'est pas une constante. On peut ainsi exprimer le revenu total $R_{t}(x_{i})=x_{i}.p(x_{i})$. On exprime ensuite le revenu marginal, qui est la dérivée du revenu total : $R_{m}(x_{i})=p(x_{i})+x_{i}.p'(x_{i})$. En factorisant dans le membre de droit, on obtient :

$$R_{m}(x_{i})=p(x_{i}).{\bigg (}1+{\dfrac {x_{i}.p'(x_{i})}{p(x_{i})}}{\bigg )}$$

En notation leibnizienne, on a : ${\dfrac {x_{i}.p'(x_{i})}{p(x_{i})}}=p'(x_{i}).{\dfrac {x_{i}}{p}}={\dfrac {dp}{dx_{i}}}.{\dfrac {x_{i}}{p}}$

En exprimant $x_{i}$ en fonction de la demande que l'on note $D_{i}$, on obtient : ${\dfrac {D_{i}.p'(D_{i})}{p(D_{i})}}={\dfrac {dp}{dD_{i}}}.{\dfrac {D_{i}}{p}}$

On exprime désormais l'élasticité-prix $\varepsilon _{x,p}$ du prix $p(x_{i})$ de la demande $D_{i}$ : $\varepsilon _{x},p={\dfrac {dD_{i}}{dp}}.{\dfrac {p}{D_{i}}}$. On remarque alors que ${\dfrac {D_{i}.p'(D_{i})}{p(D_{i})}}={\dfrac {1}{\varepsilon _{x},p}}$

En vertu de la loi de la demande, l'élasticité $\varepsilon _{x,p}<0$, on adopte donc la notation en valeur absolue qui donne : ${\dfrac {D_{i}.p'(D_{i})}{p(D_{i})}}=-{\dfrac {1}{|\varepsilon _{x},p|}}$

Finalement, on a bien :

$$R_{m}(x_{i})=p(x_{i}).{\bigg (}1+{\dfrac {x_{i}.p'(x_{i})}{p(x_{i})}}{\bigg )}=p(x_{i}).\left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right)$$

$$\Rightarrow R_{m}=p.\left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right)$$