En automatique, dans la perspective de régler un système dont l'état est caractérisé par plusieurs variables, le but du découplage est de transformer la fonction de transfert ou la représentation d'état afin de pouvoir commander chaque sortie indépendamment des autres.
Soit le système multivariables linéaire caractérisé par les relations temporelles suivantes :
![{\displaystyle {\dot {x}}(t)=A\,x(t)+B\,u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2b5effbd03e397a452270ce131d96f82f319c9)
![{\displaystyle y(t)=D\,x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071e8d5f8d0855fd05252fbf6e58d4a02030d0e1)
où le vecteur d’état
est de dimension
et où les vecteurs d’entrée
et de sortie
sont tous deux de dimension
. Les tailles respectives des matrices (à coefficients constants) correspondent naturellement à celles des vecteurs.
Le découplage consiste à trouver un correcteur pour l’asservissement tel que, commandé en mode de rétroaction, il permette d’affecter une valeur de consigne propre à chaque sortie.
En boucle ouverte, la fonction de transfert est la matrice carrée
de taille
telle que, dans l’espace de Laplace, l’équation du système s’écrive :
![{\displaystyle Y(p)=F(p)\,U(p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62f06deb8af23dd0106ee4862364cc0e2a1b0e3)
Appelée matrice de transfert, elle est définie par la relation
![{\displaystyle F(p)=C\,(pI-A)^{-1}\,B+D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a9ba32ce0a07cb7b7f3a251cc8f63d782d7559)
Après avoir inséré un bloc correcteur en amont de l’entrée, soit un processus à déterminer dont la fonction de transfert est une matrice
de taille
, le contrôle en boucle fermée conduit à la relation
où
![{\displaystyle F_{BF}(p)=[I+F(p)\,C(p)]^{-1}\,F(p)\,C(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b583fcad201b85a041a5f71772757c79acfbc3)
est la matrice de transfert en boucle fermée et où
désigne la consigne.
Le découplage est l’opération consistant à trouver
de sorte que la forme de
soit diagonale.
Soit
une matrice diagonale dont les termes sont les
,
.
Ainsi, le correcteur
devrait vérifier
![{\displaystyle [I+F(p)\,C(p)]^{-1}\,F(p)\,C(p)=\Omega (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4a88257ca52566208ca80eebff955c263ebc43)
soit
![{\displaystyle C(p)=F(p)^{-1}\ \Omega (p)\ [I-\Omega (p)]^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2822f0f8467f5612978d9f90f1d0ba578a68e3e2)
Notons
le vecteur de dimension
dont les composantes correspondent aux éléments de la k ème ligne de
La relation liant
à
s’écrit alors
![{\displaystyle y(t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{1}^{T}\\\vdots \\d_{n}^{T}\end{bmatrix}}x(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bff4242037ea055c5d9ba36d54db6ce66c30a2)
Considérons la composante
:
![{\displaystyle y_{k}(t)=d_{k}^{T}\,x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f488bb219b6bcd624dce42f5c674b10bae12fdd2)
implique
![{\displaystyle {\dot {y}}_{k}(t)=d_{k}^{T}\,{\dot {x}}(t)=d_{k}^{T}\,A\,x(t)+d_{k}^{T}\,B\,u(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a77f7ad70f9a1ad842ef52e8c5c64321427e87)
Si
alors
ce qui implique
![{\displaystyle {\ddot {y}}_{k}(t)=d_{k}^{T}\,A\,{\dot {x}}(t)=d_{k}^{T}\,A^{2}\,x(t)+d_{k}^{T}\,A\,B\,u(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002e4e3c533a6604d75919617e3dce44b9a9cac2)
Si
alors
le processus peut se poursuivre.
Dans ce même esprit, soit
le plus petit entier positif ou nul tel que
Alors
Ces égalités permettent de définir
satisfaisant la relation
![{\displaystyle {\hat {y}}(t)={\begin{bmatrix}y_{1}^{(j_{1}+1)}(t)\\\vdots \\y_{n}^{(j_{n}+1)}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{1}^{T}\,A^{j_{1}+1}\\\vdots \\d_{n}^{T}\,A^{j_{n}+1}\end{bmatrix}}x(t)+{\begin{bmatrix}d_{1}^{T}\,A^{j_{1}}\\\vdots \\d_{n}^{T}\,A^{j_{n}}\end{bmatrix}}\,B\,u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc3c5e82daeb8b7579b27636bb7ae4458a0e514)
qui s’écrit sous la forme synthétique suivante :
![{\displaystyle {\hat {y}}(t)=F\,x(t)+L\,u(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ebbd6aa9ef9781ed2a3dc135824b1400948bb44)
étant une matrice carrée de taille
.
Si
est inversible, alors
![{\displaystyle u(t)=L^{-1}\,[{\hat {y}}(t)-F\,x(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23625b3685f5b1629565fad367d39ff93888b859)
et le découplage est possible.
Dans ce cas, le système découplé se réduit à des sous-systèmes qui, dans l’espace de Laplace, s’expriment par :
![{\displaystyle {\frac {Y_{k}(p)}{{\hat {Y}}_{k}(p)}}=p^{-(j_{k}+1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b8e38f176bf79906333fe26479987fafdff64c)
chacun d’eux correspondant à un processus d’intégrations successives.