Transformation infinitésimale

En mathématique, une transformation infinitésimale est une petite transformation dans le sens où l'approximation au premier ordre est valable. Par exemple, pour un groupe à un paramètre agissant sur un espace de dimension finie, on aura $T(\epsilon )\simeq I_{n}+\epsilon A$ où ε est un paramètre de la transformation, I_n la matrice identité de dimension n et A une matrice appelée générateur de la transformation. En général, une transformation T(ε) n'est pas linéaire, mais si son approximation au premier ordre est valable, alors elle s'écrit comme une somme de matrices.

Sachant qu'une transformation est une action α d'un groupe G sur un ensemble X : si l'ensemble X a une structure de variété différentiable et que l'action est elle-même différentiable alors on peut écrire son développement de Taylor pour ε ∈G proche de l'identité : $\alpha ({\boldsymbol {\epsilon }})\simeq id+\epsilon ^{i}\mathbf {t} _{i}$