Coordonnées grassmanniennes

Les coordonnées grassmanniennes sont une généralisation des coordonnées plückeriennes qui permettent de paramétrer les sous espaces de dimension $k$ de l'espace vectoriel $\mathbb {R} ^{n}$ par un élément de l'espace projectif de l'espace vectoriel des produits extérieurs des familles de $k$ vecteurs de $\mathbb {R} ^{n}$.

Le plongement plückerien

Le plongement plückerien est un plongement naturel de la variété grassmannienne $G(k,n)$ dans l'espace projectif $P(\Lambda ^{k}(\mathbb {R} ^{n}))$:

$\psi :{\mbox{G(k,n)}}\rightarrow \mathbf {P} (\bigwedge ^{k}(\mathbb {R} ^{n})).$

Ce plongement est défini comme suit. Si $W$ est un sous-espace de dimension $k$ de $\mathbb {R} ^{n}$, on définit d'abord une base $(e_{1},\ldots ,e_{k})$ de $W$, puis on forme le produit extérieur $\phi (W)=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{k}.$ Ce produit extérieur dépend de la base, mais comme deux familles de $k$ vecteurs engendrent le même sous-espace vectoriel si et seulement si leurs produits extérieurs sont colinénaires, un passage au quotient fait de $\psi$ un plongement de $G(k,n)$ dans l'espace projectif de l'espace des produits extérieurs (de dimension $C_{n}^{k}-1,$).

Ce plongement est naturellement injectif car on obtient $W$ comme le sous-espace de dimension $k$ des vecteurs $w$ satisfaisant à $w\wedge \phi (W)\ =0$. Lorsque $k=2,n=4$ on retrouve les coordonnées plückeriennes.

D'autre part les images de la grassmannienne satisfont une relation polynomiale quadratique assez simple, appelée la relation de Plücker ; de sorte que la grassmannienne se réalise par ce biais comme une sous-variété de $\mathbf {P} (\wedge ^{k}(\mathbb {R} ^{n}))$. Les relations de Plücker s'obtiennent en prenant deux sous-espaces vectoriels $k$-dimensionnels W et V de $\mathbb {R} ^{n}$ respectivement munis des bases $(w_{1},\cdots ,w_{k})$ et $(v_{1},\cdots ,v_{k})$. Alors, dans le système de coordonnées homogènes de $\mathbf {P} (\wedge ^{k}(\mathbb {R} ^{n}))$, on a pour tout $r\in \{1,\cdots ,k\}$ :

$\psi (W)\bigwedge \psi (V)-\sum _{i_{1}<\cdots <i_{r}}(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{i_{1}-1}\wedge w_{1}\wedge v_{i_{1}+1}\wedge \cdots \wedge v_{i_{r}-1}\wedge w_{r}\wedge v_{i_{r}+1}\wedge \cdots \wedge v_{k})\cdot (v_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge v_{i_{r}}\wedge w_{r+1}\cdots \wedge w_{k})=0.$

Dans le cas de la dimension $n=4$ et des coordonnées de Plücker ($k=2$), on obtient une seule équation, qui s'écrit :

$X_{01}X_{23}-X_{02}X_{13}+X_{12}X_{03}=0.$

Bibliographie

• Laurent Lafforgue : Chirurgie des grassmanniennes

• Les coordonnées de Plücker revisitées par Lilian Aveneau de l'Université de Poitiers

• Des planches de Jussieur sur le plongement de Plucker : ici ou là

Liens internes

• Hermann Grassmann
• Coordonnées plückeriennes
• Déterminant par blocs