Grassmannienne

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En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou Gk,n(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ».

Généralités[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
  • Pour k = n – 1, la grassmannienne correspond à l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, vu que chaque point correspond à un hyperplan.
  • Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.

Grassmannienne comme quotient[modifier | modifier le code]

Pour le voir on note l'ensemble des matrices de taille p, n et de rang p et la variété de Stiefel (en) des matrices de taille p, n dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.

On remarque que est en bijection avec l'espace des orbites de l'action (par multiplication à droite) de sur , ainsi qu'à celui de l'action de (le groupe des matrices unitaires de taille p) sur .

On montre que les topologies induites par ces représentations sont identiques en utilisant la factorisation de Cholesky[1].

Plongement de Plücker[modifier | modifier le code]

Un autre façon de réaliser la grasmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes. Ce plongement de dans l'espace projectif des produits extérieurs de degré k dans l'espace ℝn prolonge les travaux de Plücker pour le cas des plans de ℝ4.

Recouvrement par des cartes affines[modifier | modifier le code]

On introduit la base canonique de E = ℝn et l'on note S une k-partie de {1, … , n}, le sous-espace engendré par les vecteurs .

On note l'ensemble des supplémentaires de .

Première étape
Soit V un élément de VS.
Tout vecteur s'écrit de façon unique avec et . L'application est linéaire et injective. Comme V et ont même dimension, c'est un isomorphisme. On note l'isomorphisme réciproque. On a alors avec
Seconde étape
L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective, à tout élément V de , une application , ou encore sa matrice (dans les bases canoniques de E1 et E2), (l'ensemble des matrices réelles de taille n – k, k).
Cette bijection est une description affine de , qui est une partie ouverte (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la grassmannienne .
Troisième étape
On montre que tout élément de appartient à pour au moins une k-partie S, et que pour deux parties différentes S et T, le changement de cartes induit par les descriptions de et est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre et .

Interprétation comme variété algébrique[modifier | modifier le code]

On en déduit par recollement que cette grassmannienne est une variété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que est une variété non singulière, affine, fermée et bornée, birégulièrement isomorphe à [2].

Grassmanniennes euclidiennes[modifier | modifier le code]

Grassmanniennes et projecteurs orthogonaux[modifier | modifier le code]

Soit la grassmannienne des sous-espaces de dimension p de ℝn. Dans l'espace des matrices carrées de taille n à coefficients réels, considérons le sous-ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de rang p, c'est-à-dire des matrices A vérifiant les trois conditions :

  • (c'est la matrice d'un projecteur),
  • (elle est symétrique),
  • (sa trace est p ).

On obtient par ce biais une représentation de comme un sous-ensemble affine des matrices carrées de taille n à coefficients réels.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Dedieu, Points Fixes, Zéros et la Méthode de Newton, p. 68-69.
  2. Jacek Bochnak, Michel Coste et Marie-Françoise Roy (en), Géométrie algébrique réelle, p. 64-67.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]