11-cage de Balaban

	11-cage de Balaban
	; Représentation de la 11-cage de Balaban
Nombre de sommets	112
Nombre d'arêtes	168
Rayon	6
Diamètre	8
Maille	11
Automorphismes	64
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	3
Propriétés	Cubique; Cage; Hamiltonien
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La 11-cage de Balaban (ou (3-11)-cage de Balaban) est, en théorie des graphes, un graphe régulier possédant 112 sommets et 168 arêtes.

Il porte le nom du mathématicien A. T. Balaban qui en a publié la description en 1973^[1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

La 11-cage de Balaban est une (3,11)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 11 et étant régulier de degrés 3. C'est en fait l'unique (3-11)-cage. Cette unicité a été prouvée par McKay et Myrvold en 2003^[2].

Le diamètre de la 11-cage de Balaban, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, et son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté, il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique de la 11-cage de Balaban est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique de la 11-cage de Balaban est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes de la 11-cage de Balaban est un groupe d'ordre 64^[3].

Le polynôme caractéristique de la 11-cage de Balaban est : $(x-3)x^{12}(x^{2}-6)^{5}(x^{2}-2)^{12}(x^{3}-x^{2}-4x+2)^{2}$ $(x^{3}+x^{2}-6x-2)(x^{4}-x^{3}-6x^{2}+4x+4)^{4}(x^{5}+x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+12x+4)^{8}$ .

Représentations[modifier | modifier le code]

Représentation du nombre chromatique de la 11-cage de Balaban : 3.
Représentation de l'indice chromatique de la 11-cage de Balaban : 3.
Représentation alternative du graphe^[4].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Balaban 11-cage (MathWorld)

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) A. T. Balaban, Trivalent Graphs of Girth Nine and Eleven and Relationships Among the Cages, Rev. Roumaine Math., 18, 1033-1043, 1973
↑ (en) « Cage Graph », MathWorld
↑ (en) Geoffrey Exoo & Robert Jajcay, Dynamic cage survey, Electr. J. Combin. 15 (2008)
↑ (en) P. Eades, J. Marks, P. Mutzel, S. North, Graph-Drawing Contest Report, Mitsubishi Electric Research Laboratories, TR98-16, 1998

Portail des mathématiques

[balaban-1] (en) A. T. Balaban, Trivalent Graphs of Girth Nine and Eleven and Relationships Among the Cages, Rev. Roumaine Math., 18, 1033-1043, 1973

[2] (en) « Cage Graph », MathWorld

[SURV-3] (en) Geoffrey Exoo & Robert Jajcay, Dynamic cage survey, Electr. J. Combin. 15 (2008)

[4] (en) P. Eades, J. Marks, P. Mutzel, S. North, Graph-Drawing Contest Report, Mitsubishi Electric Research Laboratories, TR98-16, 1998

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[4]