Équation de coagulation de Smoluchowski

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L'équation de coagulation de Smoluchowski est une équation d'évolution introduite par Marian Smoluchowski dans une publication de 1916[1], régissant des phénomènes de coalescence ou de fragmentation tels les collisions de corps célestes, les agglomérations de gouttelettes ou encore la coagulation sanguine.

L'équation de coagulation[modifier | modifier le code]

Si l'on assimile les particules coagulantes à leur volume et si l'on considère que deux particules de volumes respectifs x et y ont une probabilité K(x,y) de fusionner pour donner une particule de volume x+y, un bilan de matière continu permet d'obtenir l'équation intégrale

\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\int^x_0K(x-y,y)n(x-y,t)n(y,t)\,dy - \int^\infty_0K(x,y)n(x,t)n(y,t)\,dy.

qui a son pendant discret

\frac{\partial n(x_i,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\sum^{i-1}_{j=1}
K(x_i-x_j,x_j)n(x_i-x_j,t)n(x_j,t) - \sum^\infty_{j=1}K(x_i,x_j)n(x_i,t)n(x_j,t).

Noyau de coalescence[modifier | modifier le code]

L'opérateur linéaire de coalescence K peut prendre des formes variées, et le comportement du système dépend fortement de sa vitesse de croissance. De rares cas particuliers pour lesquels des solutions théoriques sont connues sont par exemple

K = 1,\quad K = x + y, \quad K = xy,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Marian Smoluchowski, « Drei Vorträge über Diffusion, Brownsche Molekularbewegung und Koagulation von Kolloidteilchen », Physik. Zeit., vol. 17,‎ , p. 557–571, 585–599 (Bibcode 1916ZPhy...17..557S)