Équation de Schwinger-Dyson

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L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs. Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état (qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a  :

avec S la fonction d'action et l'opération d'ordonnation du temps.

D'une même manière, dans la formulation de l'état de densité, pour tout état (valid) ρ, il y a :

Ces équations infinies peuvent être utilisées pour résoudre les fonctions de corrélation, sans perturbation.

On peut également réduire l'action S en la séparant : S[φ]=1/2 D-1ij φi φj+Sint[φ] avec pour premier terme la part quadratique et D-1 un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être ré-écrites ainsi :

Si F est une fonction de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si

et que G est une fonction de J, alors :

.

S'il y une fonction analytique Z (appelée fonction génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :

,

alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :

En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenue.