Équation de Helmholtz (mécanique des fluides)

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En mécanique des fluides l'équation de Helmholtz est l'équation de transport de la vorticité (ou tourbillon) pour l'écoulement d'un fluide incompressible barotrope. Elle a été établie par Hermann von Helmholtz en 1858[1].

Cette équation est utilisée pour l'étude des mécanismes de turbulence et, dans le cas non visqueux, pour l'étude de l'atmosphère.

Équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible[modifier | modifier le code]

Les équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible s'écrivent

  • Équation d'incompressibilité
  • Équation de bilan de la quantité de mouvement

où ρ est la masse volumique supposée variable, p la pression, V la vitesse et ν la viscosité cinématique du fluide. g est une force extérieure.

Équation de Helmholtz[modifier | modifier le code]

L'équation de quantité de mouvement ci-dessus peut s'écrire[2]

On a introduit dans cette équation la vorticité

en prenant le rotationnel de cette nouvelle équation il vient (on suppose g irrotationnel)

Le second terme se développe de la façon suivante

Au final l'équation de conservation de la vorticité s'écrit

Π est le vecteur barocline

Ce terme est nul pour un fluide barotrope. On obtient alors l'équation de Helmholtz

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (de) H. Helmholtz, « Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 55,‎ , p. 25-55 (lire en ligne)
  2. (en) Christophe Bailly et Geneviève Comte-Bellot, Turbulence, Springer, (ISBN 978-3-319-16159-4)