Équation de Helmholtz (mécanique des fluides)

En mécanique des fluides l'équation de Helmholtz est l'équation de transport de la vorticité (ou tourbillon) pour l'écoulement d'un fluide incompressible barotrope. Elle a été établie par Hermann von Helmholtz en 1858.

Cette équation est utilisée pour l'étude des mécanismes de turbulence et, dans le cas non visqueux, pour l'étude de l'atmosphère.

Équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible

Les équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible s'écrivent

• Équation d'incompressibilité

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement

${\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V} \right)=-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g}$

où ρ est la masse volumique supposée variable, p la pression, V la vitesse et ν la viscosité cinématique du fluide. g est une force extérieure.

Équation de Helmholtz

L'équation de quantité de mouvement ci-dessus peut s'écrire

${\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla V^{2}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g}$

On a introduit dans cette équation la vorticité

${\boldsymbol {\Omega }}=\nabla \times \mathbf {V}$

en prenant le rotationnel de cette nouvelle équation il vient (on suppose g irrotationnel)

${\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+\nabla \times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} )={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}$

Le second terme se développe de la façon suivante

$\nabla \times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} )=(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}-\mathbf {V} \,\underbrace {\nabla \cdot {\boldsymbol {\Omega }}} _{\equiv 0}-({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +{\boldsymbol {\Omega }}\,\underbrace {\nabla \cdot \mathbf {V} } _{=~0}$

Finalement l'équation de conservation de la vorticité s'écrit

${\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}=({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}+\Pi$

où Π est le vecteur barocline

$\Pi ={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p$

Ce terme est nul pour un fluide barotrope. On obtient alors l'équation de Helmholtz

${\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}=({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}$