Série hypergéométrique

En mathématiques, une série hypergeometrique est la somme d'une suite de termes tels que le quotient du terme d'indice k+1 par le term d'indice k est une fonction rationnelle de k. La serie, lorsqu'elle converge, definit une fonction hypergeometrique qui peut ensuite etre etendue a un domaine plus grand par prolongement analytique.On ecrit generalement la serie hypergeometrique comme suit :

$\,_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$

ou $c_{0}$=1 et

${\frac {c_{k+1}}{c_{k}}}={\frac {(k+a_{1})(k+a_{2})\cdots (k+a_{p})}{(k+b_{1})(k+b_{2})\cdots (k+b_{q})}}\,{\frac {1}{k+1}}$

On peut aussi l'ecrire :

$\,_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{k}(a_{2})_{k}\ldots (a_{p})_{k}}{(b_{1})_{k}(b_{1})_{k}\ldots (b_{q})_{k}}}\,{\frac {x^{k}}{k!}}$

ou $(a)_{k}=a(a+1)\ldots (a+k-1)$ est la factorielle ascendante ou symbole de Pochhammer

Introduction

Une serie hypergeometrique est une série formelle dans laquelle le quotient des coefficients successifs $\alpha _{n}/\alpha _{n-1}$ est une fraction rationnelle de n : il existe des polynômes ${\tilde {P}}(n)$ et ${\tilde {Q}}(n)$ tels que

${\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n-1}}}={\frac {{\tilde {P}}(n)}{{\tilde {Q}}(n)}}$

Ainsi, par exemple, dans le cas d'une serie geometrique, ce quotient est une constante. Un autre exemple est la serie de Taylor de la fonction exponentielle, ou

$\alpha _{n}/\alpha _{n-1}=z/n\,.$

En pratique, la serie est ecrite comme une serie generatrice exponentielle, en modifiant les coefficients pour que le terme general de la serie soit de la forme

$\alpha _{n}=\beta _{n}z^{n}/n!\,$

et $\beta _{0}=1$. Ici la variable z correspond a une constante dans le quotient ${\tilde {P}}/{\tilde {Q}}$. On va se servir de la fonction exponentielle comme modele pour la suite.

De nombreuses suites interessantes en mathematiques ont la propriete que le quotient de deux termes succesifs est une fraction rationnelle. Cependant, lorsqu'on les encode dans une serie generatrice exponentielle, celle-ci a un rayon de convergence non nul seulement sous certaines conditions. Par convention, le terme de serie hypergeometrique est d'ordinaire reserve au cas ou la serie definit une vraie fonction analytique avec un rayon de convergence strictement positif. Une telle fonction et son [[prolongement analytique]] eventuel est appellee une fonction hypergeometrique]].

Des conditions de convergence ont ete donnees par [[Carl Friedrich Gauss]], dans le cas de

${\frac {\beta _{n}}{\beta _{n-1}}}={\frac {(n+a)(n+b)}{(n+c)}}$,

qui conduit a la serie hypergeomtrique standard classique

$\,_{2}F_{1}(a,b,c;z).$

Notation

La notation standard pour la serie hypergoemetrique generale est

$\,_{m}F_{p}.$,

ou les entiers m and p sont les degres des polynomes P and Q dans le quotient

${\frac {\beta _{n}}{\beta _{n-1}}}={\frac {P(n)}{Q(n)}}.$

Si m>p+1, le rayon de convergence est nul et il n'y a pas de fonction analytique associee. La serie se termine au bout d'un nombre fini de termes si jamais P(n) s'annule en un entier naturel n. Si Q(n) est nul, les termes de la suite ne sont pas definis.

La notation complete pour F suppose que P et Q sont monic et factorises, de telle sorte qu'elle comprend un m-uplet qui est la liste des zeros de P et un p-uplet pour ceux de Q. Par le theoreme fondamental de l'algebre, ceci n'est pas vraiment une restriction. Par ailleurs, on peut aussi absorber les coefficients dominants de P ou Qen changeant z. Sous cette forme, le terme general de la suite est un produit de quotient de Symboles de Pochhammer. Comme la notation de Pochhammer pour les factorielles ascendantes est traditionnellem, il estplus commode d'indexer F par les listes des opposes des zeros de P et Q. Ainsi, on a

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}$

ou $(a)_{n}=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)$ est la factorielle ascendante ou Symbole de Pochhammer. Dans cet exemple, les zeros de P sont −a et −b, et le zero de Q est −c.

Cas particuliers et applications

Les polynomes orthogonaux classiques s'expriment tous comme des cas particuliers de

${\;}_{2}F_{1}$ avec aumoins un des parametres a et b entier negatif. De meme, les fonctions de Legendres sont aussi des cas particuliers.

Les applications des series hypergeometriques comprennent aussi l'inversion des integrales elliptique.

La fonction de Kummer ₁F₁(a,b;x) est une function hypergeometrique confluente.

La fonction ₂F₁ a plusieurs representations intégrales, dont l'intégrale hypergéometrique d'Euler.