Surface de Gauss

En électromagnétisme, une surface de Gauss est une surface imaginaire de l'espace utilisée dans le calcul des champs électriques par le théorème de Gauss. Puisque le théorème de Gauss peut être utilisé dans le cas de certaines symétries particulières du champ électrique, on distingue principalement trois classes de surfaces de Gauss.

Sphère de Gauss

Sphère de Gauss autour d'une charge ponctuelle.

Utilisée pour des objets chargés de symétrie sphérique, par exemple une charge ponctuelle.

Le flux qui traverse la sphère de Gauss $\left(\Phi _{E}\right)$ est décrit par:

$\Phi _{E}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=E\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\mathrm {d} S$

où $\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\mathrm {d} S=4\pi r^{2}.$

Par le théorème de Gauss, $\left(\Phi _{E}={\frac {Q_{int}}{\varepsilon }}\right)$

$E={\frac {Q_{int}}{4\pi \varepsilon r^{2}}},$ où $\varepsilon$ est permittivité du milieu et $Q_{int}$ la charge contenue dans la sphère de Gauss.

Cylindre de Gauss

Cylindre chargé entouré d'un cylindre de Gauss.

Utilisé pour trouver le champ électrique produit par des objets de symétrie cylindrique (exemple : cylindre chargé). Le flux qui traverse le cylindre de Gauss est décrit par:

$\Phi _{E}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=E\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\mathrm {d} S$

où $\,\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\mathrm {d} S=2\pi rL$, avec $r$ le rayon et $L$ la longueur du cylindre de Gauss (en omettant la surface des 2 bases circulaires car le champ électrique est perpendiculaire a celles-ci, d'où ${\vec {E}}\cdot {\vec {S}}_{\mathrm {base} }=0$ ) .

Ainsi,

$E={\frac {Q_{int}}{2\pi \varepsilon rL}}={\frac {\rho L}{2\pi \varepsilon rL}}={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon r}}$, où $\rho$ est la densité linéique de charge et $\varepsilon$ est permittivité du milieu.

Boîte à pilules de Gauss

La boîte à pilule s'utilise pour déterminer le champ électrique produit par un plan chargé.

Exemple d'utilisation

Trouvons le champ créé à proximité d'un plan infini portant une densité de charge surfacique $\rho _{v}$.

Démonstration

On choisit la boîte à pilules de Gauss de manière que ses bouts soient parallèles au plan infini et qu'elle comprenne une section $A$ du plan à mi-hauteur. Selon le théorème de Gauss,

$\iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {Q_{\text{int}}}{\varepsilon _{0}}}$

où S est l'aire de la surface de Gauss et $Q_{int}$, la charge à l'intérieur. Celle-ci est donnée par $Q_{int}=\rho _{v}A$. L'intégrale de surface de gauche est séparée, car on doit intégrer sur trois surfaces différentes.

$\iint _{\text{surface courbe}}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}+\iint _{\text{bout 1}}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}+\iint _{\text{bout 2}}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {\rho _{v}A}{\varepsilon _{0}}}$

Par symétrie, l'intégrale est la même sur les deux bouts et elle vaut zéro sur la surface courbe, car le champ est parallèle à cette surface et ne crée donc pas de flux électrique. Perpendiculaire au plan, le champ est aussi parallèle à $d{\vec {S}}$ par définition de celui-ci. Le produit scalaire devient un produit usuel. On a maintenant

$2\iint _{\text{bout}}EdS={\frac {\rho _{v}A}{\varepsilon _{0}}}$.

Le champ étant constant sur les bouts, on le sort de l'intégrale. Connaissant la surface $A$ du plan dans la boîte à pilules de Gauss, on a enfin

$2EA={\frac {\rho _{v}A}{\varepsilon _{0}}}$

$E={\frac {\rho _{v}}{2\varepsilon _{0}}}$.

Ici, la boîte à pilules de Gauss est particulièrement utile, car le calcul des intégrales est très largement simplifié. Dans chaque problème, il faut savoir utiliser la bonne surface de Gauss.