Utilisateur:Yapper

Soient a,b,c trois réels qcq (non congrus à pi/2 modulo pi)

$a+b+c=\pi$ donc $c=\pi -(a+b)$ (on élimine une "variable")

$\tan a+\tan b+\tan c=\tan a+\tan b+\tan(\pi -(a+b))$

$\tan(\pi -(a+b))=\tan(-(a+b))=-\tan(a+b)$ (par pi périodicité de tangente et puis par imparité)

Formule trigo : $\tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}$

donc $\tan a+\tan b+\tan c=(\tan a+\tan b)(1-{\frac {1}{1-\tan a\tan b}})$ (subsitution puis factoriation)

$...=(T_{a}+T_{b}){\frac {-T_{a}T_{b}}{1-T_{a}T_{b}}}=-T_{a}T_{b}{\frac {T_{a}+T_{b}}{1-T_{a}T_{b}}}=-T_{a}T_{b}T_{a+b}=T_{a}T_{b}T_{\pi -(a+b)}=\tan a\tan b\tan c$ (réduction même dénom. et simplification des 1 et enfin utilisations de la même ruse).

CQFD

((On doit aussi pouvoir le faire avec une fonction...))