Utilisateur:Wrtalya/Corps Noir

Démonstration

On part de l'expression de la densité spectrale émise par un corps noir (Loi de Planck). On travaille en terme de pulsation. Si u est l'énergie interne par unité de volume ($u={\frac {\partial U}{\partial V}}$), la densité spectrale est l'énergie des photons de pulsation comprise entre $\omega$ et $\omega +d\omega$ :

$u_{\omega }={\frac {\partial u}{\partial \omega }}={\frac {\hbar }{c^{3}\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{3}}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}\right)-1}}$

Note : si on veut travailler en longueur d'onde, on peut écrire que $u_{\lambda }={\frac {\partial u}{\partial \lambda }}={\frac {\partial u}{\partial \omega }}{\frac {\partial \omega }{\partial \lambda }}$.
En effet, $\omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }}$ donc $d\omega =-2\pi c{\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}$ et $u_{\lambda }=-{\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1}}$
Dans la suite de l'article, on ne travaillera que en pulsation, sachant que tous les calculs peuvent être effectués en utilisant $\lambda =2\pi {\frac {c}{\omega }}$


On cherche maintenant à exprimer la puissance surfacique totale (pour toutes les pulsations) émise par un Corps noir. On montre que si $\varphi _{e}$ est la puissance émise par une unité de surface d'un corps noir, on a ${\frac {d\varphi _{e}}{d\omega }}={\frac {c}{4}}u_{\omega }$. La puissance totale étant obtenue en sommant toutes ces puissances pour chaque pulsation, on cherche à calculer $\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {\omega ^{3}}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}\,d\omega$ En effectuant le changement de variable $x={\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}$, on obtient

$P_{Surfacique}={\frac {(k_{B}T)^{4}}{4\pi ^{2}c^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx=\sigma T^{4}$

avec $\sigma ={\frac {k_{B}^{4}}{4\pi ^{2}c^{2}\hbar ^{3}}}{\frac {\pi ^{4}}{15}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60c^{2}\hbar ^{3}}}=5.67.10^{-8}SI$