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En algèbre commutative, un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau noethérien qui n'est pas nécessairement régulier, mais dont la profondeur est égale à sa dimension de Krull. Une singularité de Cohen-Macaulay est une singularité dont l'anneau local est un anneau de Cohen-Macaulay. Les anneaux portent le nom d'Irvin Cohen et Francis Macaulay.
Dans la hiérarchie des anneaux, on a les inclusions suivantes :
- Anneau universellement caténaire anneau de Cohen-Macaulay anneau de Gorenstein (en) anneau d'intersection complète anneau local régulier.
Définitions
[modifier | modifier le code]Suite régulière
[modifier | modifier le code]Soit un module sur un anneau ; un élément est dit régulier si pour un implique .
Une suite d'éléments est appelée suite - régulière si les conditions suivantes sont remplies :
- ;
- Pour l'image de dans n'est pas un diviseur de zéro.
Profondeur d'un module
[modifier | modifier le code]Soit un module sur un anneau ; la profondeur de est la longueur maximale d'une suite -régulière d'éléments de .
Dimension d'un module
[modifier | modifier le code]La dimension d'un module sur un anneau est la dimension de Krull de , où est l'annulateur de .
Pour un module de type fini sur un anneau noethérien, on a :
où désigne l'ensemble des à idéaux premiers associés à , et le support du module.
Pour un module de type fini sur un anneau local noethérien on a l'inégalité :
- .
Cohen-Macaulay
[modifier | modifier le code]Un module de type fini sur un anneau noethérien est appelé un module de Cohen-Macaulay si pour tous les idéaux maximaux de on a :
- .
est un anneau de Cohen-Macaulay si en tant que module, est un module de Cohen-Macaulay.
Exemples d'anneaux de Cohen-Macaulay
[modifier | modifier le code]- La localisation d'un anneau de Cohen-Macaulay.
- Un anneau noethérien de dimension 0 ou, de manière équivalente, un anneau artinien.
- Un anneau noethérien de dimension 1 réduit.
- Un anneau noethérien de dimension 2 normal.
- Un anneau noethérien régulier, comme les entiers , ou l'anneau des polynômes sur un corps , ou un anneau de séries formelles
- Un anneau de Gorenstein (en).
- L'anneau des invariants , où est un anneau de Cohen-Macaulay sur un corps de caractéristique 0 et est un groupe fini ou plus généralement un groupe algébrique linéaire dont la composante identité est un groupe réductif.
- Un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau caténaire.
Exemples géométriques
[modifier | modifier le code]- Soit un corps ; la variété algébrique composée de l'axe des X et de l'axe des Y, est décrite par l'anneau de coordonnées . Le point d'intersection est décrit par l'anneau
- C'est une singularité parce que est unidimensionnel, mais l'idéal maximum de ne peut être engendré que par deux éléments. D'un autre côté, est un anneau de Cohen-Macaulay (et même de Gorenstein), puisque l'idéal maximal ne contient pas que des diviseurs de zéro.
- Une singularité plus compliquée est dans l'anneau
- L'anneau local associé à la singularité
- n'est pas un anneau de Cohen-Macaulay. Il est unidimensionnel, mais l’idéal maximal n’est constitué que de diviseurs de zéro, il n’y a donc pas de suite régulière.
Bibliographie
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