Soit
un espace vectoriel sur
de dimension finie, soit une fonction
sur une partie
de
, on cherche à résoudre le problème :
où les
sont des fonction de
dans
.
Soit
un minimum local de
. Supposons que
et
soient dérivables en
et que les contraintes soient qualifiées en
. Alors, il existe
tel que l'on ait
où
est le gradient de
en
et
est l'opérateur adjoint de la jacobienne
pour le produit scalaire donné sur
.
On considère le problème suivant :
On définit d'abord le lagrangien :
![{\displaystyle L(x,\lambda ,\mu )=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+\lambda (1-x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4})+\mu (x_{4}^{2}-A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5d4a03cdf77bdf206e070a4c8a7b5a6203ce58)