Utilisateur:Tuly/Brouillon

Soit $\mathbb {E}$ un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$ de dimension finie, soit une fonction $f:\mathbb {E} \to \mathbb {R}$ sur une partie $X$ de $\mathbb {E}$, on cherche à résoudre le problème :

$(P_{EI})\quad \left\{{\begin{array}{l}\inf \,f(x)\\c_{i}(x)=0,\quad i\in E\\c_{i}(x)\leqslant 0,\quad i\in I.\end{array}}\right.$

où les $c_{i}$ sont des fonction de $\mathbb {E}$ dans $\mathbb {R}$.

Soit $x_{*}$ un minimum local de $(P_{EI})$. Supposons que $f$ et $c_{E\cup I_{*}^{0}}$ soient dérivables en $x_{*}$ et que les contraintes soient qualifiées en $x_{*}$. Alors, il existe $\lambda _{*}\in \mathbb {R} ^{m}$ tel que l'on ait

$({\mbox{KKT}})\quad \left\{{\begin{array}{cl}(a)&\nabla f(x_{*})+c'(x_{*})^{*}\lambda _{*}=0\\(b)&c_{E}(x_{*})=0\\(c)&c_{I}(x_{*})\leqslant 0\\(d)&(\lambda _{*})_{I}\geqslant 0\\(e)&(\lambda _{*})_{I}^{\!\top \!}c_{I}(x_{*})=0,\end{array}}\right.$

où $\nabla f(x_{*})$ est le gradient de $f$ en $x_{*}$ et $c'(x_{*})^{*}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {E}$ est l'opérateur adjoint de la jacobienne $c'(x_{*})$ pour le produit scalaire donné sur $\mathbb {E}$.

Exemple

On considère le problème suivant :

$$(P_{1})\quad \left\{{\begin{array}{l}\inf \,f(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\\x_{4}^{2}<=A\end{array}}\right.$$On définit d'abord le lagrangien :

$$L(x,\lambda ,\mu )=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+\lambda (1-x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4})+\mu (x_{4}^{2}-A)$$$$(P_{1})\quad \left\{{\begin{array}{cl}(a)&2x_{1}-\lambda =0\\(b)&2x_{2}-\lambda =0\\(c)&2x_{3}-\lambda =0\\(d)&2x_{4}-\lambda +\mu =0\\(e)&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\\(f)&x_{4}<=A\\(g)&\mu >=0\\(h)&\mu (x_{4}-A)=0\\\end{array}}\right.$$