Utilisateur:Tayou974/Module projectif

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, les modules projectifs sont des généralisations des modules libres. La notion apparaît pour la première fois en 1956 dans le livre Homological algebra de Cartan et Eilenberg.

Dans la suite, A désigne un anneau commutatif unitaire.

Caractérisation des modules projectifs[modifier | modifier le code]

Soit P un A-module.

Les conditions suivantes sont équivalentes :

Pour tout morphisme surjectif $f:N\to M$ et tout morphisme $g:P\to M$ , il existe (au moins) un morphisme $h:P\to N$ tel que $f\circ h=g$ :

Le module P est un facteur direct d'un module libre, c'est-à-dire qu'il existe un module N tel que P\oplusN soit libre;
Pour toute suite exacte de A-modules $L\to M\to N$ , la suite $Hom(P,L)\to Hom(P,M)\to Hom(P,N)$ est aussi exacte;
Le foncteur (covariant) $Hom(P,\bullet )$ est exact à droite;

Définition — Un module est dit projectif s'il vérifie l'une de ces propriétés (et il les vérifie alors toutes).

Liens avec la liberté et la platitude[modifier | modifier le code]

Généralités[modifier | modifier le code]

Un module libre est projectif;
Un module projectif est plat.

Les réciproques sont fausses en général :

(module projectif non-libre) Le $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ -module ${\mathfrak {p}}=(3,1-{\sqrt {5}})$ est projectif mais pas libre.
(module plat non-projectif) Le groupe abélien $\mathbb {Q}$ est un $\mathbb {Z}$ -module plat qui n'est pas projectif.

Réciproques partielles[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

Le groupe de Picard d'un anneau[modifier | modifier le code]

Soit L un A-module. On dit que L est fibré en droites s'il est projectif et localement libre de rang 1.

L'ensemble des classes d'équivalences de fibrés en droites forme un groupe pour le produit tensoriel. On l'appelle groupe de Picard de A et on le note Pic(A).

Si $A$ est un anneau principal ou un anneau local alors $Pic(A)=0$ .
Si A est un anneau de Dedekind tel que Pic(A)=0 alors A est principal.
Soit $O_{F}$ l'anneau des entiers d'un corps de nombre $F$ . Alors un résultat fondamental de la théorie algébrique des nombres est que $Pic(O_{F})$ est un groupe fini.

En topologie[modifier | modifier le code]

Soit $X$ un espace topologique compact. On note $C(X)$ l'anneau des fonctions continues sur $X$ .
Le théorème de Swan fait le lien entre les fibrés vectoriels sur $X$ et les $C(X)$ -modules projectifs de type fini.

Définition — Soit $p:E\to X$ est un fibré vectoriel sur $X$ .
Une section $s$ de $E$ est une application continue $s:X\to E$ telle que $p\circ s=Id_{X}$ .
On pose $\Gamma (E):=\{s:X\to E|p\circ s=Id_{X}\}$ l'ensemble des sections de $E$ .

Théorème (Swan) — Avec les notations précédentes :

Pour tout fibré vectoriel $E$ , le $C(X)$ -module $\Gamma (E)$ est projectif de type fini;
Si $P$ est un $C(X)$ -module de type fini, alors il existe un fibré vectoriel $E$ tel que $P\approx \Gamma (E)$ .

Résolution projective[modifier | modifier le code]

Motivation[modifier | modifier le code]

Dualité[modifier | modifier le code]

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ . Le $\mathbb {Z}$ -module $\mathbb {Z} /n$ a pour dual $\mathbb {Z} /n^{*}=Hom_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} )=0$ et donc pour bidual $\mathbb {Z} /n^{**}=Hom_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n^{*},\mathbb {Z} )=Hom_{\mathbb {Z} }(0,\mathbb {Z} )=0$ .

En particulier, $\mathbb {Z} /n\neq \mathbb {Z} /n^{**}$ . Ainsi, contrairement à ce qu'il se passe pour les espaces vectoriels de dimension finie, les modules de type fini ne sont pas isomorphes à leur biduaux.

Le coeur du problème, ici, est que le foncteur (contravariant) de dualité $Hom(\bullet ,\mathbb {Z} )$ n'est pas exact (à gauche) et on "perd" ainsi de l'information à chaque itération. On aimerait trouver un moyen de surmonter cette difficulté.