Centrale - Mathématiques 1 {\displaystyle {\text{Centrale - Mathématiques 1}}} Dans tout l'exercice, f : ] 0 ; + ∞ [ ↦ R + désigne une fonction continue et décroissante. {\displaystyle {\text{Dans tout l'exercice,}}\ \ f:\ ]0;+\infty [\ \mapsto \mathbb {R} _{+}\ {\text{désigne une fonction continue et décroissante.}}} Soit deux suites ( a n ) ∈ ( R + ) N et ( b n ) ∈ R N avec ( a n ) décroissante. {\displaystyle {\text{Soit deux suites }}(a_{n})\in (\mathbb {R} _{+})^{\mathbb {N} }{\text{ et}}\ (b_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\ {\text{avec}}\ (a_{n})\ {\text{décroissante.}}} Q1. Montrer que ∀ n ∈ N , on a l'inégalité : ∑ j = 0 n a j b j ≤ a 0 max ( 0 ≤ j ≤ n ) ∑ i = 0 j b i {\displaystyle {\text{Q1. Montrer que}}\ \forall \ n\in \mathbb {N} ,{\text{on a l'inégalité :}}\ \sum _{j=0}^{n}a_{j}b_{j}\leq a_{0}\operatorname {max} _{(0\leq j\leq n)}\sum _{i=0}^{j}b_{i}} Q2. En déduire que pour toute fonction ϕ définie, continue par morceaux et positive {\displaystyle {\text{Q2. En déduire que pour toute fonction}}\ \phi \ {\text{définie, continue par morceaux et positive}}} sur ] 0 ; + ∞ [ et ∀ ( a , b ) ∈ ( R + ∗ ) 2 tels que 0 < a < b , on a la propriété suivante : {\displaystyle {\text{sur}}\ ]0;+\infty [\ {\text{et}}\ \forall \ (a,b)\in (\mathbb {R} _{+}^{*})^{2}\ {\text{tels que}}\ 0<a<b,\ {\text{on a la propriété suivante :}}} ∫ a b f ( t ) ϕ ( t ) d t ≤ f ( a + ) sup ( 0 ≤ X ≤ b ) ∫ a X ϕ ( t ) d t {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(t)\phi (t)\,\mathrm {d} t\leq f(a^{+})\operatorname {sup} _{(0\leq X\leq b)}\int \limits _{a}^{X}\phi (t)\,\mathrm {d} t} où f ( a + ) désigne la limite à droite de f en a , dont on justifiera l'existence. {\displaystyle {\text{où}}\ f(a^{+})\ {\text{désigne la limite à droite de}}\ f\ {\text{en}}\ a,\ {\text{dont on justifiera l'existence.}}} (On traitera d'abord le cas où f est en escalier.) {\displaystyle {\text{(On traitera d'abord le cas où}}\ f\ {\text{est en escalier.)}}}
![{\displaystyle {\text{Dans tout l'exercice,}}\ \ f:\ ]0;+\infty [\ \mapsto \mathbb {R} _{+}\ {\text{désigne une fonction continue et décroissante.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e57c9dd8251ef5000f63127a20c53becd80aa5)
![{\displaystyle {\text{sur}}\ ]0;+\infty [\ {\text{et}}\ \forall \ (a,b)\in (\mathbb {R} _{+}^{*})^{2}\ {\text{tels que}}\ 0<a<b,\ {\text{on a la propriété suivante :}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8299c1abbd0de6a4d17b5103ef2ef2150b9634)
